Стальной прут в магнитном поле

Сила Ампера перпендикулярна и пруту, и полю. Её вертикальная составляющая меняет силу реакции стола, горизонтальная создаёт силу трения. Рассмотрите два варианта направления вертикальной составляющей: вверх и вниз.

Сопротивление прута \(R = \rho_\text{э}L/S\), ток \(I = U/R = US/(\rho_\text{э}L)\). Сила Ампера \(F_A = IB_0L = USB_0/\rho_\text{э}\) перпендикулярна и пруту, и полю. Вес прута \(mg = \rho LSg\).

Вес уменьшился вдвое. Вертикальная составляющая силы Ампера \(F_A\sin\alpha\) должна компенсировать половину веса: \(F_A\sin\alpha = mg/2\), откуда \[\sin\alpha = \frac{B_\text{кр}}{B_0}, \qquad B_\text{кр} = \frac{\rho\rho_\text{э}Lg}{2U}.\] Решение существует только при \(B_0 \geqslant B_\text{кр}\). Сила реакции стола \(N = mg/2\). Горизонтальная составляющая \(F_A\cos\alpha = F_A\sin\alpha\,\operatorname{ctg}\alpha = \dfrac{mg}{2}\operatorname{ctg}\alpha\). Чтобы прут не скользил, \(F_A\cos\alpha \leqslant \mu N\), то есть \(\mu \geqslant \operatorname{ctg}\alpha\).

Вес увеличился вдвое. Вертикальная составляющая силы Ампера направлена вниз и равна \(mg\): \(F_A\sin\beta = mg\), откуда \(\sin\beta = \dfrac{2B_\text{кр}}{B_0}\). Решение существует при \(B_0 \geqslant 2B_\text{кр}\). Теперь \(N = 2mg\), а горизонтальная составляющая \(F_A\cos\beta = mg\,\operatorname{ctg}\beta\). Условие неподвижности \(mg\,\operatorname{ctg}\beta \leqslant 2\mu mg\) даёт \(\mu \geqslant \dfrac{\operatorname{ctg}\beta}{2}\).

Итого: при \(B_0 < B_\text{кр}\) решения нет; при \(B_\text{кр} \leqslant B_0 < 2B_\text{кр}\) поле включают под углом \(\alpha\) с условием \(\mu \geqslant \operatorname{ctg}\alpha\); при \(B_0 \geqslant 2B_\text{кр}\) есть и второй угол \(\beta\) с условием \(\mu \geqslant \dfrac{\operatorname{ctg}\beta}{2}\).