Таяние ледяного полушара

Скорость таяния пропорциональна мощности, а она пропорциональна площади контакта. Как при этом меняется высота льда? Ход луча через сферу найдите по закону Снеллиуса.

За малое время \(\Delta t\) стол передаёт льду тепло \(\alpha S\,\Delta t\), где \(S\) — площадь соприкосновения. Этим теплом растаивает слой толщиной \(\Delta h\): \(\alpha S\,\Delta t = \lambda\rho S\,\Delta h\), где \(\lambda\) — удельная теплота плавления льда, \(\rho\) — его плотность. Значит, высота льда над столом убывает равномерно: \(\dfrac{\Delta h}{\Delta t} = \dfrac{\alpha}{\lambda\rho} = \text{const}\).

В начальный момент угол падения луча на полусферу \(\alpha = 30^\circ\), и по закону Снеллиуса \[\sin\beta = \frac{\sin\alpha}{n} = \frac{1}{2n}, \qquad \operatorname{tg}\beta = \frac{1}{\sqrt{4n^2 - 1}}.\] Геометрия преломлённого луча с углом \(\gamma = \alpha - \beta\) даёт координату точки падения на стол относительно центра \(O\): \[x_0 = \frac{2R}{\sqrt{12n^2 - 3} + 1}.\] Когда остаётся только нижняя часть льда толщиной \(R\sqrt{3}/2\), луч попадает в точку на расстоянии \(R/2\) от \(O\). Поскольку высота убывает равномерно за время \(T_0\), это происходит в момент \(t = \dfrac{\sqrt{3}}{2}T_0\). Если представить, что не лёд опускается, а стол равномерно поднимается, точка пересечения луча со столом движется равномерно, поэтому до этого момента \(x(t)\) линейна, а затем \(x = R/2\).