Две катушки, три резистора
5/10В цепи, представленной на рис. 4, ключ изначально разомкнут. Значения обозначенных на рисунке параметров цепи равны: \(\mathcal{E} = 6\) В, \(r = 2\) Ом, \(R = 6\) Ом, \(L = 0{,}2\) Гн. Активное сопротивление катушки равно нулю.
Ключ замыкают и в цепи начинается переходный процесс, при этом ток через батарейку меняется в некотором диапазоне, границы которого обозначим через \(I_{\min}\) и \(I_{\max}\). Считайте известным тот факт, что ток через батарейку в переходном процессе меняется монотонно.
а) (1 балл) Определите значение \(I_{\min}\). Ответ дайте в амперах, округлите до десятых.
б) (1 балл) Определите значение \(I_{\max}\). Ответ дайте в амперах, округлите до десятых.
Спустя некоторое время после начала переходного процесса ток через батарейку устанавливается. Далее ключ размыкают.
в) (2 балла) Чему равно напряжение на среднем резисторе (расположенном на рис. 4 вертикально) сразу после размыкания ключа? Ответ дайте в вольтах, округлите до целого.
г) (1 балл) Какое количество теплоты выделяется в цепи после размыкания ключа? Ответ дайте в джоулях, округлите до десятых.
д) (1 балл) Какое количество теплоты выделяется на среднем резисторе (расположенном на рис. 4 вертикально) после размыкания ключа? Ответ дайте в джоулях, округлите до десятых.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаСразу после замыкания ток через катушки равен нулю (катушка как разрыв), а при установлении напряжение на катушках нулевое (катушка как провод). После размыкания токи катушек сохраняются.
Ответа) \(I_{\min} = \dfrac{\mathcal{E}}{r + 3R} = 0{,}3\) А; б) \(I_{\max} = \dfrac{\mathcal{E}}{r + R/3} = 1{,}5\) А; в) \(U_R = \dfrac43 \cdot \dfrac{\mathcal{E}R}{r + R/3} = 12\) В; г) \(Q = L\cdot\left(\dfrac23 I_{\max}\right)^2 = 0{,}2\) Дж; д) \(Q_R = \dfrac{Q}{2} = 0{,}1\) Дж.
РешениеОбозначим через \(I_L\) ток, текущий по виткам одной из катушек. Ток в другой катушке будет таким же в силу симметрии. Можно доказать, что производная \(dI_L/dt\) не меняет знака в переходном процессе и становится равна нулю, когда токи в элементах цепи перестают меняться. Причём доказательство не требует решения дифференциального уравнения. Таким образом, данное в условии утверждение о том, что зависимость тока через батарейку от времени — монотонная, является избыточным.
Сразу после замыкания ключа и спустя длительное время после замыкания ключа токи через батарейку равны соответственно: \[I_{\mathcal{E}}(0) = \frac{\mathcal{E}}{r + 3R} = 0{,}3\text{ А}, \qquad I_{\mathcal{E}}(\infty) = \frac{\mathcal{E}}{r + R/3} = 1{,}5\text{ А}.\] Сразу после размыкания ключа токи через катушки остаются такими же, как до размыкания. В процессе уменьшения тока через катушки до нуля ток, текущий через средний резистор, оказывается вдвое большим тока, текущего через любой из крайних резисторов. Отсюда следует, что количество теплоты, выделяющееся на среднем резисторе, вдвое больше количества теплоты, выделяющегося на любом из крайних.
Похожие задачи
- RLC-цепь МОШ 2023/24, 11 кл.
- Неизвестные параметры МОШ 2024/25, 11 кл.
- Цепь с неизвестными МОШ 2018/19, 11 кл.
- Контур с диодом МОШ 2021/22, 11 кл.
- Явления при размыкании МОШ 2021/22, 11 кл.
- Заряд и теплота МОШ 2022/23, 11 кл.