Заряд и теплота

Токи через катушки при мгновенном переключении не меняются скачком. Проинтегрируйте по времени уравнение для напряжений в контуре из двух катушек и резисторов, а для теплоты используйте закон сохранения энергии.

Если \(i_1\) и \(i_2\) — токи, текущие через катушки индуктивностью \(L\) и \(2L\) соответственно в переходном процессе, то справедливо соотношение \[2L\,di_2 - L\,di_1 = r(dq_1 - 2\,dq_2),\] где \(dq_1\) и \(dq_2\) — заряды, протекающие через катушки индуктивностью \(L\) и \(2L\) за бесконечно малое время \(dt\). Проинтегрировав это уравнение, получаем равенство \[2L\,\Delta i_2 - L\,\Delta i_1 = r(q_1 - 2q_2),\] в котором \(\Delta i_2 = 0\), а \(\Delta i_1 = \dfrac{\mathcal{E}}{2r}\). Протекающие через катушки заряды связаны соотношением \[C\mathcal{E} = q_1 + q_2,\] которое позволяет исключить заряд \(q_2\) и получить после простых преобразований ответ \[q_1 = \frac{L\mathcal{E}}{6r^2} + \frac{2C\mathcal{E}}{3} = 900\text{ мкКл}.\] Записав уравнение, отражающее закон сохранения энергии \[\frac{C\mathcal{E}^2}{2} = \frac{C\mathcal{E}^2}{2} - \frac{L\mathcal{E}^2}{8r^2} + Q,\] легко получим ответ: \[Q = \frac{C\mathcal{E}^2}{2}\left(1 + \frac{L}{4Cr^2}\right) = 6{,}75\text{ мДж} \approx 7\text{ мДж}.\]