Нагрев жидкости

Пока жидкость в широком сосуде не дошла до крышки, она просто расширяется; потом её объём фиксирован, и при каждом малом нагреве в узкий сосуд уходит порция \(4SH\,\Delta\rho\) при текущей температуре. Давление на дно найдите по массе жидкости в узком сосуде, а тепло, принесённое порциями, — как площадь под графиком \(\rho(t)\).

Зависимость плотности от температуры: \[\rho(t) = \rho_0 - \frac{\rho_0}{2}\cdot\frac{t - t_0}{t_0} = \rho_0\,\frac{3t_0 - t}{2t_0}. \tag{1}\] Начальная масса \(m_{L0}\) жидкости в левом сосуде: \[m_{L0} = 4Sh\rho_0 = 4SH\rho.\] Следовательно, сосуд большего сечения заполнится доверху, когда плотность в нём уменьшится до \(\rho = 0{,}95\rho_0\). Из (1) получаем: \[\rho = 0{,}95\rho_0 \;\Rightarrow\; 3t_0 - t_1 = 1{,}9t_0 \;\Rightarrow\; t_1 = 1{,}1t_0.\] После этого жидкость начинает перетекать из левого (широкого) сосуда в правый. При достижении температуры \(t = 2t_0\) масса \(m_L\) жидкости в левом сосуде равна: \[m_L = 4SH\cdot\frac{\rho_0}{2} = 2\rho_0 SH.\] Полная масса \(m\) жидкости изначально: \[m = (4S + S)h\rho_0 = 5S\cdot 0{,}95H\rho_0 = 4{,}75\rho_0 SH.\] Следовательно, масса \(m_R\) жидкости в правом сосуде после нагрева: \[m_R = m - m_L = 2{,}75\rho_0 SH.\] Тогда давление на дне: \[p_\text{дно} = \frac{m_R g}{S} = 2{,}75\rho_0 gH.\] Давление \(p_\text{к}\) жидкости на крышку в сосуде большего сечения найдём из равенства давлений: \[p_\text{к} = p_\text{дно} - 0{,}5\rho_0 gH = 2{,}25\rho_0 gH.\]

Поскольку объём левого сосуда фиксирован (при достижении высоты \(H\)), уменьшение массы в нём прямо пропорционально уменьшению плотности при нагреве. При нагреве левого сосуда на малую величину \(\Delta t\) плотность уменьшается на \(\Delta\rho\), и в правый сосуд перетекает масса: \[\Delta m = 4SH\,\Delta\rho, \tag{2}\] температура которой равна текущей температуре \(t\) в левом сосуде.

Способ 1. Можно считать, что нагреватель сообщил количество теплоты массе \(\Delta m\) уже после того, как она переместилась в правый сосуд. Тогда количество теплоты, поступающее в правый сосуд: \[\Delta Q = c\Delta m\,(t - t_0) = 4cSH(t - t_0)\Delta\rho,\] где \(c\) — теплоёмкость жидкости.

Если воспользоваться графиком зависимости \(\rho(t)\), то можно заметить, что величине \(\Delta Q\) пропорциональна площадь полоски шириной \(\Delta\rho\) и длиной \(t - t_0\) (см. рисунок 1), домноженной на \(4cSH\).

Полное количество «перенесённой» в правый сосуд теплоты \(Q\) пропорционально площади трапеции, показанной на рисунке 2, с домножением на \(4cSH\). Тогда: \[Q = 0{,}99\rho_0 t_0 cSH.\]

Эта теплота, распределённая по массе \(m_R = 2{,}75\rho_0 SH\), повысит температуру правого сосуда: \[t_R = t_0 + \frac{Q}{cm_R} = t_0 + \frac{0{,}99\rho_0 t_0 cSH}{c\cdot 2{,}75\rho_0 SH}.\]

Способ 2. Из (1) и (2) получим, что при повышении температуры левого сосуда от \(t_1 = 1{,}1t_0\) до \(t_2 = 2t_0\) масса, перетекающая в правый сосуд, увеличивается равномерно с температурой:

\[\Delta m = \frac{2SH}{t_0}\cdot\Delta t.\] Следовательно, распределение масс по температуре равномерное, и средняя температура приходящих порций жидкости равна среднему арифметическому концов интервала: \[t_\text{ср} = \frac{t_1 + t_2}{2} = \frac{1{,}1t_0 + 2t_0}{2} = 1{,}55t_0.\] Уравнение теплового баланса для правого сосуда: \[m_{R0}c(t_R - t_0) + \Delta mc(t_R - t_\text{ср}) = 0,\] где \(m_{R0}\) — начальная масса жидкости в правом сосуде. Отсюда: \[t_R = \frac{m_{R0}t_0 + \Delta m\,t_\text{ср}}{m_{R0} + \Delta m}.\]

Способ 3. Малая масса, перетекающая при возрастании температуры на \(\mathrm{d}t\): \[\mathrm{d}m = -4SH\,\mathrm{d}\rho.\] Из (1): \[\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t} = -\frac{\rho_0}{2t_0} \quad\Rightarrow\quad \mathrm{d}m = \frac{2\rho_0 SH}{t_0}\,\mathrm{d}t.\] Количество теплоты, переносимое этой массой: \[\mathrm{d}Q = c(t - t_0)\,\mathrm{d}m = c(t - t_0)\frac{2\rho_0 SH}{t_0}\,\mathrm{d}t.\] Интегрируем от \(t_1 = 1{,}1t_0\) до \(2t_0\): \[Q = \frac{2\rho_0 SHc}{t_0}\int_{1{,}1t_0}^{2t_0}(t - t_0)\,\mathrm{d}t = \frac{2\rho_0 SHc}{t_0}\left[\frac{(t - t_0)^2}{2}\right]\Bigg|_{1{,}1t_0}^{2t_0}.\] Подставляем пределы: \[Q = \frac{2\rho_0 SHc}{t_0}\cdot\frac{t_0^2 - 0{,}01t_0^2}{2} = 0{,}99\rho_0 ct_0 SH.\] Далее, как и в первом способе: \[t_R = t_0 + \frac{Q}{cm_R}.\] Окончательно: \[t_R = 1{,}36t_0.\]