Стрельба из лука

Работа лука с учетом КПД переходит в кинетическую энергию стрелы. Дальше запишите координаты стрелы через время полета и выразите из них косинус угла.

Найдем начальную скорость стрелы, записав выражение для кинетической энергии стрелы: \[E_K = \frac{mv^2}{2} = \eta A \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2\eta A}{m}}.\] Горизонтальная и вертикальная компоненты скорости стрелы соответственно равны \(v_x = v\cos\alpha\) и \(v_y = v\sin\alpha\). Если стрела, вылетающая на высоте \(h\) выше центра мишени, летит время \(t\), то верно \[v\cos\alpha\cdot t = L, \qquad v\sin\alpha\cdot t - \frac{gt^2}{2} = -h.\] Выразив \(\sin\alpha\), получим: \[\cos\alpha = \frac{L}{vt} \quad\Rightarrow\quad \sin\alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{L}{vt}\right)^2} = \sqrt{\frac{v^2t^2 - L^2}{v^2t^2}}.\] Подставим в нижнее уравнение и решим его относительно переменной \(t^2\): \[vt\cdot\sqrt{\frac{v^2t^2 - L^2}{v^2t^2}} = \frac{gt^2}{2} - h \quad\Rightarrow\quad v^2t^2 - L^2 = h^2 - hgt^2 + \frac{g^2t^4}{4} \quad\Rightarrow\] \[\frac{g^2t^4}{4} - (hg + v^2)t^2 + (h^2 + L^2) = 0 \quad\Rightarrow\quad t^2_{1,2} = \frac{(hg + v^2) \pm \sqrt{(hg + v^2)^2 - 4\cdot\frac{g^2}{4}(h^2 + L^2)}}{2\cdot\frac{g^2}{4}}.\] Отсюда \(t_1 \approx 10{,}8\) с, \(t_2 \approx 3{,}8\) с (отрицательные значения \(t\) отбрасываем). Тогда получаем, что Вова может пустить стрелу под двумя разными углами \(\alpha_1\) и \(\alpha_2\): \[\cos\alpha_1 \approx 0{,}3, \qquad \cos\alpha_2 \approx 0{,}9.\]