Деформация футбольного мяча

Сила на пластину равна избыточному давлению, умноженному на площадь пятна контакта. Во втором пункте сила почти пропорциональна деформации, поэтому мяч ведет себя как пружина.

1) \(F = \Delta p\, S\), где \(S = \pi r^2\) — площадь поверхности сегмента контакта мяча и стенки. С помощью теоремы Пифагора можно найти радиус \(r\): \(r^2 = R^2 - (R - h)^2 = (2R - h)h\), поэтому \[F = \Delta p\,\pi h(2R - h) \approx 120\text{ Н}.\] 2) При ударе мяч деформируется так, как показано на рисунке: оболочка не растягивается, поэтому сохраняет сферическую форму (кроме мест соприкосновения со стенкой).

Используя приближение \(h \ll R\), можно пренебречь членом порядка \(h^2\) в выражении для силы. Тогда сила пропорциональна \(h\), т.е. мяч ведет себя как пружина с жесткостью \(k = 2\pi R\,\Delta p\). Тогда можно воспользоваться законом сохранения энергии и выразить искомую величину \(h\): \[m v_0^2 = 2\pi R\,\Delta p\, h^2 \quad\Rightarrow\quad h = v_0\sqrt{\frac{m}{2\pi R\,\Delta p}} \approx 11\text{ мм}.\] Искомое \(t\) является половиной периода гармонических колебаний пружинного маятника с жесткостью \(k = 2\pi R\,\Delta p\): \[t = \pi\sqrt{\frac{m}{2\pi R\,\Delta p}} \approx 18\text{ мс}.\]