Три шарика на шарнире

Силы натяжения стержней в точке соединения в сумме дают ноль. Запишите второй закон Ньютона для каждого шарика в проекции на его стержень, учитывая, что сама точка соединения движется с ускорением.

Поскольку стержни и точка их соединения невесомы, \(\vec T_1 + \vec T_2 + \vec T_3 = 0\). В свою очередь, углы между любыми двумя стержнями равны, поэтому \[|\vec T_1| = |\vec T_2| = |\vec T_3| = T.\] Расположим оси \(x\) и \(y\) так, как указано на рисунке, и перейдем в систему отсчета, связанную с точкой соединения стержней. Ускорение данной точки обозначим за \(a\). Тогда можно записать баланс действующих сил для каждого из трех шариков в проекции на соответствующие стержни: \[T_1 = m a_x \cos\frac{\pi}{6} - m a_y \cos\frac{\pi}{3},\] \[T_2 = -2m a_x \cos\frac{\pi}{6} - 2m a_y \cos\frac{\pi}{3},\] \[T_3 = 3m a_x + 3m\,\frac{v_0^2}{L}.\]

Данная система содержит три неизвестных, \(T_1 = T_2 = T_3\), \(a_x\), \(a_y\). Решив систему, получим искомое \[T_1 = \frac{6}{11}\,\frac{m v_0^2}{L}.\] Тогда ускорения для шариков массой \(m\), \(2m\), \(3m\) соответственно равны \[a_1 = \frac{6}{11}\,\frac{v_0^2}{L}, \qquad a_2 = \frac{3}{11}\,\frac{v_0^2}{L}, \qquad a_3 = \frac{2}{11}\,\frac{v_0^2}{L}.\] Подставляя численные значения, получим: \[a_1 \approx 7{,}3\text{ м/с}^2, \qquad a_2 \approx 3{,}6\text{ м/с}^2, \qquad a_3 \approx 2{,}4\text{ м/с}^2.\]