Бусинки на проволоке

Сначала выясните, с какой скоростью нижняя бусинка массой \(m\) подойдёт к бусинке массой \(2m\). Запишите законы сохранения импульса и энергии для упругого столкновения и найдите скорость, которую получит бусинка массой \(2m\). Не забудьте, что нижняя бусинка сначала должна перевалить через свою горку.

Пусть высоты на рисунке равны \(h_1=3h\), \(h_2=4h\), \(h_3=h_4=2h\). Нужно, чтобы нижняя бусинка массой \(m\) перевалила через горку \(h_2\), а бусинка массой \(2m\) — через горку \(h_4\).

При столкновении бусинка массой \(m\) останавливается и полностью передаёт свою энергию бусинке массой \(2m\), которая до этого покоилась. Поэтому условие совпадает с тем, как если бы нижней бусинки массой \(m\) не было вовсе. Из закона сохранения энергии требование \[\frac{mv_0^2}{2}>mgh_2\] эквивалентно \(v_0^2>2gh_2=8gh\). Величина \(h_1\) на ответ не влияет.

Если это условие выполнено, бусинка скатывается вниз и сталкивается с бусинкой массой \(2m\) со скоростью \(v_1\), которая по закону сохранения энергии равна \[\frac{mv_0^2}{2}+mgh_3=\frac{mv_1^2}{2}.\] Пусть после столкновения бусинка массой \(m\) отскакивает со скоростью \(v_2\) влево, а бусинка массой \(2m\) начинает движение вправо со скоростью \(u\). Законы сохранения импульса и энергии дают \[mv_1=2mu-mv_2,\qquad \frac{mv_1^2}{2}=\frac{2mu^2}{2}+\frac{mv_2^2}{2},\] откуда \(u=\dfrac{2}{3}v_1\), \(v_2=\dfrac{1}{3}v_1\).

Бусинка массой \(2m\) должна достичь вершины \(h_4\): \[\frac{2mu^2}{2}>2mg(h_3+h_4).\] Подставляя \(u\) и \(v_1\), получаем \(v_0^2>\dfrac{1}{2}g(5h_3+9h_4)=14gh\). Пересечение с условием \(v_0^2>8gh\) даёт итог: бусинка массой \(2m\) выйдет на горизонтальный участок при \(v_0>\sqrt{14gh}\). При \(v_0=\sqrt{14gh}\) бусинка бесконечно долго «переваливается» через последнюю горку.