Мощный гироскутер

Из условия отсутствия вращения найдите силы реакции опоры на два колеса. Затем подберите силы трения так, чтобы их сумма для каждого колеса не превышала \(\mu N_i\), а скатывающая сила компенсировалась.

Обозначим силу реакции опоры на нижнее колесо \(N_1\), на верхнее — \(N_2\), проекцию трения вдоль оси гироскутера — \(F_i\), а проекцию трения в направлении разгона — \(Q_i\). Гироскутер не опрокидывается и едет поступательно, поэтому полный момент сил относительно осей колёс равен нулю: \[N_2L-mg\left(\frac{L}{2}\cos\alpha-H\sin\alpha\right)=0,\qquad N_1L-mg\left(\frac{L}{2}\cos\alpha+H\sin\alpha\right)=0,\] откуда \[N_1=\frac{mg}{2}\left(\cos\alpha+\frac{2}{5}\sin\alpha\right),\qquad N_2=\frac{mg}{2}\left(\cos\alpha-\frac{2}{5}\sin\alpha\right).\] Гироскутер не переворачивается при \(N_2\geqslant0\), то есть при \(\tg\alpha\leqslant 5/2\). Из равенства моментов для продольных сил \(Q_1=Q_2\equiv Q\). Второй закон Ньютона вдоль оси гироскутера: \(F_1+F_2=mg\sin\alpha\). Условия трения: \(\sqrt{F_i^2+Q^2}\leqslant\mu N_i\). Ускорение равно \(a=\dfrac{2Q}{m}\), поэтому задача сводится к максимизации \(Q\).

Если скатывающая сила мала, она полностью компенсируется силой трения \(F_1=mg\sin\alpha\) на нижнем колесе, и \(Q=\mu N_2\), так что \[a=\mu g\cos\alpha\left(1-\frac{2H}{L}\tg\alpha\right)=\mu g\cos\alpha\left(1-\frac{2}{5}\tg\alpha\right).\] Этот режим реализуется при \(\tg\alpha<\tg\alpha_A=\dfrac{2H}{L}\mu^2=\dfrac{2}{5}\mu^2\).

Иначе часть силы трения верхнего колеса тратится на компенсацию скатывающей силы, и для обоих колёс трение достигает максимума. Тогда \((2Q)^2=(mg)^2\left(\mu^2\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\right)\left[1-\left(\dfrac{2\mu H}{L}\right)^2\right]\) и \[a=g\cos\alpha\sqrt{\mu^2-\tg^2\alpha}\sqrt{1-\frac{4\mu^2}{25}}.\] Если \(\tg\alpha>\mu\), силы трения не могут удержать гироскутер, и он соскальзывает.