Задачи › Вычисление сопротивлений, симметрия, бесконечные цепочки

Деталь из проволоки и сопротивление

  1. Деталь из проволоки и сопротивление

    Санкт-Петербургская 2020/21, 10 кл.
    7/10

    Из однородной проволоки согнули деталь \(ABCDE\): \(|BC|=|CD|=L\), \(|AB|=L/3\). Деталь стоит точкой \(A\) на опоре и находится в равновесии, при этом участок \(BC\) горизонтален (см. рис. а). В точке \(D\) прикрепляют маленький грузик массой \(m\) и уравновешивают систему, разместив ещё одну такую же деталь, при этом участок \(BC\) вновь горизонтален (см. рис. б). Определите сопротивление между точками \(A\) и \(E'\) как функцию \(m\). Считайте, что если \(|A'E|<|B'C'|\), то детали касаются друг друга, и в точке касания имеется надёжный электрический контакт. Отрезок проволоки длиной \(L\) имеет массу \(M\) и сопротивление \(R\).

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Сначала найдите массу всей детали из условия равновесия относительно точки \(A\) (центр масс детали лежит под \(A\)). Затем рассмотрите два случая: детали не касаются друг друга, либо касаются в точке \(F\), и в каждом случае соберите цепочку сопротивлений.

    Ответ

    При \(m/M>32/3\) решений нет. При \(16/3<m/M\leqslant 32/3\): \(R_{\text{общ}}=R\left[\dfrac{26}{3}+\dfrac{3}{16}\dfrac{m}{M}\right]\). При \(m/M\leqslant 16/3\): \(R_{\text{общ}}=R\left[\dfrac{61}{8}+\dfrac{3}{16}\dfrac{m}{M}\right]\).

    Решение

    Для первой детали (рис. а) суммарный момент сил относительно точки \(A\) равен нулю. Пусть длина \(x\) введена так, как показано на рисунке. Тогда из условия равновесия \(x=2L\), \(|DE|=3L\), а масса всей проволоки равна \(M_0=\dfrac{16}{3}M\). Центр масс детали находится под точкой \(A\).

    Во второй ситуации (рис. б) добавленная деталь и грузик уравновешивают друг друга. Моменты относительно точки \(A\) дают \[yM_0g=Lmg,\] где длина \(y\) введена так, как показано на рисунке. Отсюда \(y=\dfrac{mL}{M_0}=\dfrac{3mL}{16M}\).

    При \(y>x\), то есть при \(m/M>32/3\), уравновесить конструкцию нельзя: грузик слишком тяжёл, а длины рычага \(x\) не хватает.

    Если \(16/3<m/M\leqslant 32/3\), детали не касаются друг друга, и схема (рис. 2 г) — последовательная цепочка сопротивлений, включая \(\dfrac{y}{L}=\dfrac{3m}{16M}\). Её сопротивление \[R_{\text{общ}}=\left(\frac{1}{3}+3+\frac{y}{L}+\frac{1}{3}+5\right)R=\left(\frac{26}{3}+\frac{3m}{16M}\right)R.\]

    Если \(m/M\leqslant 16/3\), детали касаются в точке \(F\), и между \(A\) и \(E'\) возникает параллельное соединение сопротивлений (рис. 2 д). В итоге \[R_{\text{общ}}=\left(\frac{61}{8}+\frac{3m}{16M}\right)R.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх