Обруч, брошенный с высоты

Движение каждой точки обруча — это поступательное движение центра и вращение вокруг центра. Когда скорость центра по модулю равна \(\omega R\), какая-то точка обруча неподвижна относительно земли. Посмотрите, при каком условии такой момент наступит до удара.

Движение каждой точки обруча является суперпозицией поступательного движения со скоростью \(v\) (скорость центра, зависящая от времени) и вращения с угловой скоростью \(\omega\). Скорость некоторой точки обруча становится нулевой при условии \(v=\omega R\). Положение этой точки зависит от направления скорости центра. В начальный момент \(v=u>\omega R\).

Горизонтальная и вертикальная проекции скорости центра равны соответственно \(u\) и \(gt_*\), поэтому \[u^2+(gt_*)^2=(\omega R)^2,\qquad t_*=\sqrt{\frac{\omega^2R^2-u^2}{g}}.\] Поскольку рассматривается движение до удара о землю, должно выполняться \(t_*<t_0=\sqrt{2H/g}\), то есть \[\omega^2R^2-u^2<2gH.\] Высота точки, скорость которой обратилась в нуль, определяется выражением \[h=H+R-\frac{gt_*^2}{2}+R\sin\alpha,\] где \(\alpha\) — угол между вертикалью и радиусом, проведённым в эту точку. Используя условие \(\omega R\sin\alpha=u\), получаем \[h=H+R-\frac{\omega^2R^2-u^2}{2g}+\frac{u}{\omega}.\]