Задачи › Сообщающиеся сосуды, гидравлический пресс

Гидростатический реостат

  1. Гидростатический реостат

    ВсОШ 2022/23, 9 кл.
    6/10

    В боковые непроводящие стенки вертикальных сообщающихся сосудов (площади сечения сосудов \(S = 100\text{ см}^2\) и \(3S\)) вмонтированы две одинаковых тонких однородных нихромовых проволоки. Длина проволок равна высоте сосудов. К нижним концам проволок подключена идеальная батарея с напряжением на клеммах \(U = 46{,}2\) В. Сосуды имеют высоту \(2h_0\) (\(h_0 = 50\) см). В сосуды до уровня \(h_0\) залита вода, которая накрыта легкими и тонкими проводящими поршнями. Поршни не пропускают воду, имеют контакт с проволоками и могут без трения передвигаться внутри сосудов, не покидая их, благодаря стопорам.

    Рисунок

    К поршням с помощью гибких проводов подключен амперметр (длина проводов позволяет поршням свободно перемещаться). Схема установки изображена на рисунке. Когда на маленький поршень кладут непроводящую гирю массой 1 кг, амперметр показывает силу тока \(I_1 = 2{,}31\) А. Если же 3 таких гири положить на большой поршень, то амперметр покажет силу тока \(I_2 = 2{,}1\) А.

    1. Определите сопротивление амперметра \(R_A\), при условии, что соединительные провода и поршни имеют пренебрежимо малое сопротивление.

    2. Определите силу тока, который показывает амперметр, когда на поршнях отсутствуют грузы.

    3. В каких пределах может меняться сила тока в собранной установке, если в распоряжении имеется широкий выбор грузов?

    Можно считать, что соединительная трубка имеет пренебрежимо малое сечение. Проводимость воды также очень мала. Плотность воды \(\rho = 1000\text{ кг/м}^3\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Ток идёт по проволокам от их нижних концов до поршней, так что сопротивление цепи определяется суммой высот поршней. При смещении большого поршня на \(\Delta h\) малый смещается на \(3\Delta h\) в другую сторону. Запишите закон Ома для трёх положений поршней.

    Ответ

    1) \(R_A = 1\) Ом;  2) \(I_0 = \dfrac{2I_1I_2}{I_1 + I_2} = 2{,}2\) А;  3) от \(I_\text{min} \approx 1{,}67\) А до \(I_\text{max} \approx 3{,}22\) А.

    Решение

    Перемещаясь, поршни задействуют разную длину проволок, соответственно, обеспечивают изменение сопротивления цепи. Это связано еще и с тем, что площади сосудов отличаются, иначе бы эффект не наблюдался. Дело в том, что при смещении большого поршня на \(\Delta h\) вниз, малый сместится на \(3\Delta h\) вверх, и наоборот, когда большой поршень смещается на \(\Delta h\) вверх, малый сместится на \(3\Delta h\) вниз.

    Для удобства дальнейшей записи введем обозначение \(\alpha\) для сопротивления одного метра проволоки. Тогда можно записать законы Ома для указанных в условии задачи положений поршней. Когда на поршнях нет грузов: \[U = I_0(2\alpha h_0 + R_A),\] когда груз на малом поршне: \[U = I_1\left(2\alpha h_0 + R_A - \frac{\alpha m}{2\rho S}\right),\] когда груз на большом поршне: \[U = I_2\left(2\alpha h_0 + R_A + \frac{\alpha m}{2\rho S}\right).\] Взяв разность двух последних уравнений, получаем

    \[U(I_2 - I_1) = I_1I_2\frac{\alpha m}{\rho S}.\] Откуда \[\alpha = \frac{U(I_2 - I_1)\rho S}{I_1I_2m} = 20\text{ Ом/м}.\] И, воспользовавшись первым законом Ома, получим ответ

    \[R_A = \frac{U}{I_0 - 2\alpha H_0} = 1\text{ Ом}.\] Из законов Ома для положений системы с грузами можно получить \[U(I_1 + I_2) = 2I_1I_2(2\alpha h_0 + R_A).\] Учитывая закон Ома, когда нет поршней, получим

    \[I_0 = \frac{2I_1I_2}{I_1 + I_2} = 2{,}2\text{ А}.\] Максимальный ток в цепи будет при минимальном сопротивлении, то есть, когда задействована минимальная длина проволок. Это произойдет в нижнем положении малого поршня: \[I_\text{max} = \frac{U}{\frac43\alpha h_0 + R_A} \approx 3{,}22\text{ А}.\] Минимальный ток напротив будет при максимальном сопротивлении, то есть, когда задействована наибольшая длина проволок. Это произойдет в верхнем положении малого поршня: \[I_\text{min} = \frac{U}{\frac83\alpha h_0 + R_A} \approx 1{,}67\text{ А}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх