Задачи › Сила трения: покой и проскальзывание

Дракончики на ватрушках

  1. Дракончики на ватрушках

    ВсОШ 2025/26, 9 кл.
    5/10

    Неугомонные дракончики Вжих и Пых решили покататься на ватрушках по снежным горкам. И всё бы было огонь, если бы их другу Вико не задали в этот день лабораторную работу по изучению силы трения. Первым делом Вико взвесил всех участников «покатушек». Выяснилось, что масса Вжиха равна \(M_1 = 30\) кг, а вот Пых поднабрал и весы показали, что его масса \(M_2 = 45\) кг. Также выяснилось, что их ватрушки одинаковые и имеют массу \(m = 2\) кг каждая. Во втором эксперименте было установлено, что для перемещения пустой ватрушки по горизонтальной части горки к ней необходимо прикладывать горизонтальную силу \(F\) не менее \(4{,}1\) Н. Считайте, что коэффициент трения ватрушки о всю поверхность горки является постоянным, ускорение свободного падения примите равным \(g = 10\) м/с\(^2\). Помогите Вико правильно ответить на вопросы и получить пятёрку.

    1. Какую минимальную горизонтальную силу нужно приложить, чтобы сдвинуть ватрушку с сидящим на ней Пыхом, если всё происходит на горизонтальном участке горки? Ответ выразите в ньютонах, округлите до десятых.

    2. Чему равен коэффициент трения ватрушки о снег? Ответ округлите до сотых.

    3. Вжих и Пых решили провести парочку мини-соревнований, договорившись, что помогать крыльями, лапами, дышать огнём и т. д. категорически запрещено. По условиям первого соревнования, названного «Кто дальше?», они разгоняются до одинаковой скорости \(v = 5\) м/с, запрыгивают на ватрушки и скользят на них, пока не остановятся. Соревнование проводится на горизонтальном участке. Во сколько раз путь, пройденный до остановки Пыхом, будет больше пути, пройденного Вжихом? Ответ округлите до сотых.

    4. Во втором соревновании «Кто быстрее?» оба участника стартуют на ватрушках с вершины крутой горки. Начальная скорость должна быть равна нулю. Во сколько раз быстрее Пых спустится с горки по сравнению с Вжихом? Упрощённо считайте горку прямой. Длина горки \(L = 180\) м, горка наклонена под углом \(\alpha = 60^\circ\) к горизонту. Ответ округлите до сотых.

    5. Когда участникам весёлых «покатушек» пришлось затаскивать ватрушки на горку, возник спор: зависит ли сила, которую необходимо прикладывать к ватрушке для её перемещения, от угла \(\alpha\), под которым натянут трос? Проведя серию экспериментов, удалось выяснить, что сила зависит от угла. Был определён угол наклона троса к горизонту, оптимальный для того, чтобы тянуть пустую ватрушку по горизонтальному участку горки, прикладывая наименьшую силу. Чему оказался равен этот угол? Ответ выразите в градусах, округлите до целых.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Силу трения скольжения выразите через нормальную реакцию. Для вопросов 11 и 12 проверьте, входит ли масса в итоговое ускорение.

    Ответ

    9) \(F \approx 96{,}4\) Н (засчитывается в диапазоне \(96{,}3\)–\(96{,}5\));  10) \(\mu = 0{,}21\) (засчитывается в диапазоне \(0{,}20\)–\(0{,}22\));  11) \(1{,}00\);  12) \(1{,}00\);  13) \(\alpha \approx 12^\circ\) (засчитывается в диапазоне \(11\)–\(13\)).

    Решение

    9) Для пустой ватрушки в предельном случае ускорение равно нулю, а сила трения равна силе трения скольжения: \(F_0 = \mu m g\). Для ватрушки с Пыхом \(F = \mu (M_2 + m) g\). Отсюда \[F = F_0\,\frac{M_2 + m}{m} = 4{,}1 \cdot \frac{45 + 2}{2} \approx 96{,}4 \text{ Н}.\]

    10) Из \(F_0 = \mu m g\) находим \(\mu = \dfrac{F_0}{m g} = \dfrac{4{,}1}{2 \cdot 10} = 0{,}21\).

    11) На горизонтальном участке ускорение при торможении \(a = -\mu g\) не зависит от массы, поэтому путь до остановки \(S = \dfrac{v^2}{2\mu g}\) одинаков для Вжиха и Пыха. Ответ: \(1{,}00\).

    12) На горке \(a = g\sin\alpha - \mu g\cos\alpha\) не зависит от массы, поэтому время спуска \(t = \sqrt{2L/a}\) одинаково для Вжиха и Пыха. Ответ: \(1{,}00\).

    13) Для силы под углом \(\alpha\) второй закон Ньютона даёт \(F\cos\alpha - \mu(mg - F\sin\alpha) = ma \ge 0\), откуда \(F(\cos\alpha + \mu\sin\alpha) \ge \mu m g\). Минимальная сила достигается, когда \(\cos\alpha + \mu\sin\alpha\) максимально. Введём \(\beta\) с \(\tan\beta = \mu\), тогда \(\cos\alpha + \mu\sin\alpha = \dfrac{\cos(\beta - \alpha)}{\cos\beta}\), максимум при \(\alpha = \beta = \arctan\mu = \arctan 0{,}21 \approx 12^\circ\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх