Фотография

В системе отсчёта, свободно падающей с ускорением \(\vec g\), оба шарика летят равномерно и прямолинейно, а их перемещения \(\vec v_1 t\) и \(\vec v_2 t\) перпендикулярны. На какой линии тогда лежит общая точка, из которой они «вылетели»?

Обозначим через \(O\) общее начальное положение шариков, через \(A\) и \(B\) — положения шариков 1 и 2 в момент времени \(t\), соответствующий съёмке. Пусть \(\vec v_1\) и \(\vec v_2\) — векторы скоростей, сообщённых шарикам 1 и 2 соответственно. Тогда векторы их перемещений к моменту времени \(t\) выражаются как: \[\vec s_1 = \vec v_1 t + \frac{\vec g t^2}{2}, \quad \vec s_2 = \vec v_2 t + \frac{\vec g t^2}{2}.\] Поскольку шарики начали движение из одной точки, вектор их относительного перемещения равен: \[\vec r_\text{отн} = \vec s_1 - \vec s_2 = (\vec v_1 - \vec v_2)t.\]

Отложим от точки \(O\) вектор \(\vec g t^2/2\) и получим точку \(P\). Векторы \(\vec v_1 t = \vec{PA}\) и \(\vec v_2 t = \vec{PB}\) перпендикулярны, поэтому точка \(P\) лежит на окружности с диаметром \(AB\) (рис. 1). Опустим из центра окружности перпендикуляр к горизонтальной поверхности и получим максимальное значение \(OP_\text{max}\) (см. рисунок 2):

Из заданного масштаба следует, что: \[OP_\text{max} \approx 2{,}5\text{ м}.\] Тогда время полёта шарика 1: \[t = \sqrt{\frac{2 OP_\text{max}}{g}} = \sqrt{\frac{2\cdot 2{,}5}{9{,}8}} \approx 0{,}71\text{ с}.\] Найдём \(AP\) и \(BP\): \[AP \approx 4{,}3\text{ м}, \quad BP \approx 7{,}1\text{ м}.\] Учитывая, что \(v_1 = AP/t\), а \(v_2 = BP/t\), находим: \[v_1 \approx 6{,}0\text{ м/с}, \quad v_2 \approx 10{,}0\text{ м/с}.\]