Мяч на плоском склоне под углом к склону

Перемещение мяча за время полёта, упавшего на склон, равно \(\vec v_0 T + \vec g T^2/2\). Спроецируйте это равенство на нормаль к склону.

За время полёта перемещение мяча, упавшего на склон, равно \(\vec r = \vec v_0 T + \vec g T^2/2\). Проекции векторов \(\vec v_0 T\) и \(\vec g T^2/2\) на нормаль к склону равны по модулю: \[v_0 T \sin 45^\circ = \frac{g T^2}{2}\cos 30^\circ \quad\Rightarrow\quad V_0 = \frac{g T \cos 30^\circ}{2\sin 45^\circ} = 10\sqrt{6}\text{ м/с} \approx 24{,}5\text{ м/с}.\] Дальность полёта равна алгебраической сумме проекций векторов \(\vec v_0 T\) и \(\vec g T^2/2\) на склон: \[S = V_0 T\cos 45^\circ - \frac{g T^2}{2}\sin 30^\circ = 40(\sqrt3 - 1)\text{ м} \approx 29{,}3\text{ м}.\] Радиус кривизны минимален там, где скорость минимальна. Минимальная скорость достигается в точке, где вектор скорости перпендикулярен \(\vec g\) (тогда нормальное ускорение равно \(g\)). Эта точка находится в момент \(t = (3 + \sqrt3)/2\) с; в ней \(v_{\min} = 5(3-\sqrt3)\text{ м/с}\), и \[R = \frac{v_{\min}^2}{g} = 15(2-\sqrt3)\text{ м} \approx 4{,}0\text{ м}.\]