Заряженное тело в банке

Скорость тела равна сумме скорости поступательного движения оси банки и скорости вращения вокруг оси, по модулю равной скорости оси. Силу Лоренца удобно разложить на два вклада. Условие «не отрывается» — неотрицательность силы реакции стенки в верхней точке траектории.

Пусть банка катится направо со скоростью \(v\). Так как трение велико, тело имеет ту же скорость, что и поверхность банки: движется поступательно вместе с осью банки со скоростью \(v\) и вращается вокруг оси с той же по модулю скоростью \(v_{\text{вращ}}=v\) (банка катится без проскальзывания). Тело имеет скорость \(\vec V=\vec v+\vec v_{\text{вращ}}\).

Сила Лоренца представляется в виде двух вкладов \(F_1=QBv\) и \(F_2=QBv_{\text{вращ}}=QBv\), направленных перпендикулярно соответствующим компонентам скорости. Второй закон Ньютона в проекции на направление к центру банки: \[N+Mg\cos\alpha-QBv-QBv\cos\alpha=\frac{Mv^2}{R}\quad\Rightarrow\quad N=\frac{Mv^2}{R}+QBv-(Mg-QBv)\cos\alpha,\] где \(\alpha\) — угол, задающий положение тела в банке.

Сила \(N\) минимальна в верхней точке (\(\cos\alpha=1\)) при \(Mg-QBv\geqslant0\), и в нижней точке (\(\cos\alpha=-1\)) при \(Mg-QBv\leqslant0\). Условие \(N_{\min}\geqslant0\) в верхней точке даёт \[\frac{Mv^2}{R}+2QBv-Mg\geqslant0,\quad\text{откуда}\quad v\geqslant\frac{QBR}{M}\left(\sqrt{1+\frac{M^2g}{Q^2B^2R}}-1\right).\] В нижней точке условие \(Mv^2/R+Mg\geqslant0\) выполнено всегда; оба случая совместны, и итоговое условие для качения направо — то же выражение.

Если банка катится налево, силы Лоренца меняют направление: \(N=\dfrac{Mv^2}{R}-QBv-(Mg+QBv)\cos\alpha\). Минимум достигается при \(\cos\alpha=1\), и условие \(N\geqslant0\) даёт \[\frac{Mv^2}{R}-2QBv-Mg\geqslant0\quad\Rightarrow\quad v\geqslant\frac{QBR}{M}\left(\sqrt{1+\frac{M^2g}{Q^2B^2R}}+1\right).\]