Стержень с линзой

В положении равновесия центр масс системы лежит на одной вертикали с шарниром, поэтому стержень с линзой наклонён к вертикали на угол, который найдите из положения центра масс. Далее постройте изображение точки \(A\) формулой тонкой линзы и спроецируйте расстояние до изображения на вертикаль.

Пусть диаметр линзы \(|CB|=d=l/k\). В положении равновесия центр масс \(X\) системы лежит точно под шарниром \(A\), и сила тяжести не создаёт момента относительно \(A\). Обозначим угол \(XAB\) через \(\alpha\); под этим углом к вертикали наклонена и главная оптическая ось линзы. Пусть \(\beta=\angle OAB\), где \(O\) — оптический центр линзы.

Изображение точки \(A\) находится по формуле тонкой линзы: расстояние от линзы до изображения \(|BK|=\dfrac{Fl}{l-F}\), расстояние \(|AK|=\dfrac{l^2}{l-F}\). Из подобия треугольников \(AKA'\) и \(ABO\) с \(|AO|=\sqrt{l^2+(d/2)^2}\): \[|AA'|=\frac{l\sqrt{l^2+(d/2)^2}}{l-F}=\frac{l^2\sqrt{1+\dfrac{1}{4k^2}}}{l-F}.\] Расстояние до потолка равно проекции \(AA'\) на вертикаль: \(|AA'\cos(\beta-\alpha)|\).

Углы: \(\tg\beta=\dfrac{d/2}{l}=\dfrac{1}{2k}\). Центр масс \(X\) лежит на прямой, соединяющей массы \(m\) и \(2m\), в два раза ближе к \(2m\), поэтому \(\tg\alpha=\dfrac{d/6}{l/2+l/6}=\dfrac{1}{4k}\). Тогда \[\tg(\beta-\alpha)=\frac{\tg\beta-\tg\alpha}{1+\tg\beta\tg\alpha}=\frac{2k}{8k^2+1}.\] Итоговый ответ: расстояние от потолка равно \[\frac{l^2\sqrt{1+\dfrac{1}{4k^2}}}{l-F}\cos\!\left(\operatorname{arctg}\frac{2k}{8k^2+1}\right).\]