Задачи › Уравнение состояния

Аппарат с гелием и нагревателем

  1. Аппарат с гелием и нагревателем

    Санкт-Петербургская 2020/21, 11 кл.
    6/10

    На рисунке изображён груз, привязанный к летательному аппарату. Аппарат представляет собой контейнер К, разделённый на два отсека подвижным поршнем П. В верхнем отсеке контейнера находится гелий, нижний отсек сообщается с атмосферным воздухом. В нижнем отсеке имеется нагревательный элемент Э, который может нагреть воздух в отсеке до температуры \(T\) и поддерживать эту температуру постоянной. Поршень скользит без трения и слабо проводит тепло. Вес аппарата без содержащихся внутри газов \(F_0\). Первоначально нагревательный элемент был выключен, вся конструкция имела температуру атмосферы \(T_0\). Максимальный груз, который мог при этом поднять аппарат, имел вес \(F_1\). Когда нагревательный элемент включили, воздух в нижнем отсеке быстро нагрелся до температуры \(T\). Гелий же, из-за слабой теплопроводности поршня, имел первоначальную температуру \(T_0\). При этом максимальный вес груза, поднимаемого аппаратом, оказался равен \(F_2\). Чему станет равен максимальный вес груза, когда гелий также нагреется до температуры \(T\)?

    Считать, что температура атмосферного воздуха вокруг аппарата постоянна и равна \(T_0\). Молярная масса воздуха \(\mu_{\text{в}}\), молярная масса гелия \(\mu_{\text{не}}\).

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Выразите массу гелия через \(F_0\), \(F_1\) и отношение молярных масс из условия первоначального равновесия. Затем запишите подъёмную силу после нагрева воздуха и после нагрева гелия: отличаются они только объёмом гелия и плотностью воздуха.

    Ответ

    \(F_3=F_2+\dfrac{(F_0+F_1)\,k}{k-1}\left(1-\dfrac{T_0}{T}\right)\), где \(k=\dfrac{\mu_{\text{в}}}{\mu_{\text{не}}}\).

    Решение

    Пусть \(p_a\) — атмосферное давление, \(\rho_0=\dfrac{p_a\mu_{\text{в}}}{RT_0}\) — плотность воздуха при температуре \(T_0\), \(\rho=\dfrac{p_a\mu_{\text{в}}}{RT}\) — при \(T\). Давление гелия равно атмосферному, поэтому объём гелия в начальный момент \(V=\dfrac{mRT_0}{p_a\mu_{\text{не}}}\), где \(m\) — масса гелия.

    Вначале подъёмная сила равна силе Архимеда \(\rho_0gV_0\) минус вес аппарата, гелия и воздуха в нижнем отсеке: \[F_1=\rho_0gV-mg-F_0.\] Отсюда \(mg=\dfrac{F_0+F_1}{\mu_{\text{в}}/\mu_{\text{не}}-1}=\dfrac{F_0+F_1}{k-1}\).

    Когда воздух нагрелся, а гелий ещё нет, объём гелия не изменился, а плотность воздуха в нижнем отсеке стала \(\rho\): \[F_2=(\rho_0-\rho)gV_0-F_0-mg+\rho gV.\] Когда гелий тоже нагрелся, его объём стал \(V'=\dfrac{mRT}{p_a\mu_{\text{не}}}\), и \[F_3=F_2-\rho gV+\rho gV'=F_2+\rho g(V'-V).\] Подставляя \(\rho\), \(V\), \(V'\), получаем \(\rho g(V'-V)=mg\,\dfrac{\mu_{\text{в}}}{\mu_{\text{не}}}\left(1-\dfrac{T_0}{T}\right)=mg\,k\left(1-\dfrac{T_0}{T}\right)\). Подставив \(mg\), получаем ответ.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх