Задачи › Пружинный маятник, массивная пружина

Шарик и снаряд с пружиной

  1. Шарик и снаряд с пружиной

    Санкт-Петербургская 2020/21, 11 кл.
    6/10

    Маленький упругий шарик вылетает с поверхности земли со скоростью \(V\) под углом \(\alpha\), ударяется о вертикальную стену и падает на землю. Под тем же углом к горизонту из той же точки с той же скоростью выпускают снаряд, представляющий собой груз массы \(m\), перед которым закреплена лёгкая пружина длиной \(l\). Снаряд летит так, что пружина всегда расположена горизонтально перед грузом (см. рис.). Натолкнувшись на стену, пружина сжимается, затем разжимается до недеформированного состояния, снаряд отскакивает и падает на землю. При падении груз попал в ту же точку, что и упругий шарик. Найдите жёсткость пружины.

    В процессе соударения со стеной пружина во все моменты времени остаётся горизонтальной, груз не касается стены, трения между стеной и пружиной нет.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Вертикальное движение шарика и снаряда одинаково, поэтому время полёта совпадает. Сравните горизонтальные движения: вне контакта груза со стеной они одинаковы. Сколько времени пружина касается стены, если её сжатие и разжатие совпадают с половиной периода колебаний груза?

    Ответ

    \(k=\dfrac{\pi^2mV^2\cos^2\alpha}{4l^2}\).

    Решение

    Горизонтальная скорость шарика \(V\cos\alpha\) постоянна до и после удара о стену; стена лишь разворачивает её. Вертикальное движение шарика и снаряда одинаково, поэтому оба летят одно и то же время.

    Горизонтальное движение снаряда отличается от равномерного только тогда, когда пружина касается стены. Сжатие и разжатие пружины занимают половину периода колебаний груза массы \(m\) на пружине жёсткостью \(k\), то есть время касания \[T_0=\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.\] Чтобы груз попал в ту же точку, что и шарик, за время \(T_0\) шарик должен пролететь по горизонтали удвоенную длину пружины (до стены и обратно): \(T_0=\dfrac{2l}{V\cos\alpha}\). Отсюда \[\pi\sqrt{\frac{m}{k}}=\frac{2l}{V\cos\alpha}\quad\Rightarrow\quad k=\frac{\pi^2mV^2\cos^2\alpha}{4l^2}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх