Неваляшка

Решение

A1. Вначале найдём положение центра масс линейки, уравновесив её на карандаше.

Далее определим отношение \(\dfrac{m_{л}}{m_{п}}\). Для этого, используя линейку и карандаш в качестве рычажных весов, уравновесим на весах кусок пластилина и линейку (рис. 1).

Рис. 1

Запишем правило моментов для данного случая:

\[m_{л} g L_{л}=m_{п} g L_{п}\]\(L_{л}\) – плечо силы тяжести, действующей на линейку, \(L_{п}\) – плечо силы тяжести, действующей на кусок пластилина.

Выразим отношение \(\frac{m_{л}}{m_{п}}\):

\[\frac{m_{л}}{m_{п}}=\frac{L_{п}}{L_{л}}\]Проведём измерения:\[l_{п}=126.0~мм,\quad L_{л}=127.0~мм.\]Длины измерялись с помощью шкалы на линейке. Погрешность измерения длин: \(\sigma_{x}=1.0~мм\).

Ответ:

\[\frac{m_{л}}{m_{п}}=0.99 \pm 0.02\]

Кусочки пластилина, выданные участникам, имеют разброс значений массы около \(5 \%\).

A2. Определим отношение \(\dfrac{m_{п}}{M}\). Для этого, используя линейку и карандаш, соберём рычажные весы. Уравновесим на весах неваляшку и кусок пластилина (рис. 2).

Рис. 2

Запишем правило моментов для данного случая: \[Mg l_{н}=m_{л}g l_{л}+m_{п} g l_{п}\]\(M\) – масса неваляшки, \(l_{н}\) – плечо силы тяжести, действующей на неваляшку, \(m_{л}\) – масса линейки, \(l_{л}\) – плечо силы тяжести, действующей на линейку, \(m_{п}\) – масса куска пластилина, \(l_{п}\) – плечо силы тяжести, действующей на кусок пластилина.

Из полученного уравнения выразим отношение \(\dfrac{m_{п}}{M}\) : \[\frac{m_{п}}{M}=\frac{l_{н}}{l_{п}+l_{л} \frac{m_{л}}{m_{п}}}\]Сделаем подстановку соотношения \(\dfrac{m_{л}}{m_{п}}\), измеренного в 1 пункте в уравнение для \(\dfrac{m_{п}}{M}\). Получим: \[\frac{m_{п}}{M}=\frac{l_{н}}{l_{п}+l_{л} \frac{L_{п}}{L_{л}}}\]Проведём измерения:\[l_п=391.0~мм,\quad _н=109.0~мм,\quad l_л-137.0~мм.\]

Ответ:

\[\frac{m_{п}}{M}=0.21\pm 0.01\]

A3. Если к голове неваляшки прикрепить кусок пластилина, устойчивое положение неваляшки окажется отличным от вертикального.

Подберем такой кусок пластилина, чтобы ось симметрии неваляшки оказалась расположена горизонтально (рис. 3).

Рис. 3

Для данного случая запишем правило моментов: \[m_{п} g a=M g b\] \(m_{п}\) – масса куска пластилина, \(M\) – масса неваляшки, \(a\) и \(b\) – длины плеч рычага, в роли которого выступает неваляшка.

Выразим длину \(b\): \[b=\frac{m_{п}}{M} a\] Сделаем подстановку соотношения \(\dfrac{m_{п}}{M}\), полученного в 2 пункте, в это уравнение. Тогда: \[b=\frac{a l_{н}}{l_{п}+l_{л} \frac{L_{п}}{L_{л}}}\] Длины плеч \(l_{н}, l_{п}, L_{п}\) и \(L_{л}\) измерим с помощью шкалы на линейке. Чтобы измерить величину \(a\), под неваляшку следует положить лист бумаги. Предварительно на нём проведём отрезок. Расположим неваляшку на листе бумаги таким образом, чтобы точка, соответствующая центру тяжести кусок пластилина, расположенного на голове неваляшки, оказалась строго над отрезком, а точка опоры неваляшки совпала с началом отрезка. Далее спроецируем точку, соответствующую центру тяжести куска пластилина на отрезок и сделаем соответствующую отметку. Далее приложим к отрезку линейку и измерим расстояние \(a\).

По условию основание неваляшки (рисунок 4) можно считать сферическим. В таком случае: \[h=R-b\] Найдём радиус \(R\) основания неваляшки. Для этого от листа бумаги, используя линейку, оторвём полоску бумаги. Используя полоску и линейку, измерим длину охвата \(L\) основания («талии») неваляшки: \[L=2 \pi R\] Отсюда: \[R=\frac{L}{2 \pi}\]

Рис. 4

Проведём измерения. Так как первые два пункта задания выполнялись для целого куска пластилина, аналогичным образом проведём измерения с использованием кусочка, позволяющего привести ось симметрии неваляшки в горизонтальное положение (рис. 3).

Проведём измерения:\[a=80.0~мм,\  L_{п}^{'}=186.0~мм,\ L_{л}^{'}=58.0~мм,\ l_{н}^{'}=75.5~мм,\ l_{п}^{'}=424.5~мм,\ l_{л}^{'}=180.5~мм,\ L^{'}=250.0~мм.\]Длины измерялись линейкой. Погрешность измерения длин \(l_{н}^{'}, l_{п}^{'}, L_{п}^{'}\) и \(L_{л}^{'}\): \(\sigma_{x}=1.0~мм\).

Погрешность измерения \(a: \sigma_{a}=3.0~мм\).

Результаты вычислений:

\[R=39.8~мм,\quad \dfrac{m_л}{m_п^{'}}=3.21\pm0.07,\quad \dfrac{m_п^{'}}{M}=0.075\pm0.02\]

Ответ:

\[h=33.7 \pm 0.6~мм\]

Источник: pho.rs/p/4009.