Задачи › Вычисление сопротивлений, симметрия, бесконечные цепочки

Серый ящик

  1. Серый ящик

    IEPhO 2015/16, 9 кл.
    4/10

    В этой задаче требуется оценка погрешностей измерений!

    В сером ящике находится резистор \(R_{0}\), реостат \(R_{\sim}\) и светодиод \(D\), соединенные по схеме:

    Рисунок

    Рис. 1. Схема серого ящика

    Сопротивление реостата \(R_{\sim}\) зависит от угла поворота ручки \(\varphi\) по закону \({R}_{\sim}({\varphi})={k} {\varphi}\), где \(k\) некоторый размерный коэффициент.

    Выводы ящика помечены красным и черным цветом.

    Вскрывать серый ящик запрещено!

    Батарейки необходимо соединять последовательно. Напряжение последовательно соединенных батареек \(U_{батареек }=(3.1 \pm 0.1)~В\).

    Внутреннее сопротивление амперметра \(R_A=15~Ом\).

    Светодиод – полупроводниковый прибор, создающий оптическое излучение при пропускании через него электрического тока в прямом (от плюса к минусу на рис. 1) направлении. Вольтамперная характеристика светодиода (см. рис. 2) в прямом направлении нелинейна. Диод начинает проводить ток, начиная с некоторого порогового напряжения (напряжение открытия).

    Рисунок

    Рис. 2

    A1. Какой цвет соответствует какому из выводов 1, 2 указанных на схеме?

    A2. Определите коэффициент \(k\) зависимости сопротивления реостата от угла поворота.

    A3. Определите сопротивление постоянного резистора \(R_{0}\).

    A4. Определите напряжение открытия диода.

    Оборудование

    1. Серый ящик с двумя выводами

    2. Соединительные провода

    3. Две батарейки типа AА

    4. Амперметр

    5. Два отсека для батареек

    6. Бумажный транспортир

    7. Зубочистка

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    A1: Из графиков становится очевидно, что выход красного цвета – 1, черного – 2;  A2: \[k=(2.75 \pm 0.05) ~{Ом}/{{}^{\circ}}=(157 \pm 3)~ {Ом}/{рад}\];  A3: \[R_{0}=(211 \pm 10)~Ом\]

    Решение

    A1. В начале тура участнику было сообщено значение напряжения батареек с точностью \(0.01~В\), измеренное при нем же.

    Для решения задачи соберем схему изображенную на рис. 1.

    Рисунок

    Рис. 1

    Снимем зависимость силы тока в цепи \(I\) от угла поворота ручки \(\varphi\). Угол поворота ручки будем измерять бумажным транспортиром, предварительно закрепленным на сером ящике с помощью пластилина (во избежание смещения шкалы транспортира). Угол будем измерять в градусах:

    • Подключим минус батареек к красному выводу на сером ящике:

    \(I,~мА\)54.94.84.74.64.54.44.34.24.143.93.83.73.6
    \(\varphi,^{\circ}\)148152158161167173178185192195202210220225235
    \(I,~мА\)3.53.43.33.23.132.92.82.72.62.52.42.32.22.1
    \(\varphi,^{\circ}\)245255266278290304316329344360373394412433456
    \(I,~мА\)21.91.81.71.61.51.41.31.21.110.90.80.70.6
    \(\varphi,^{\circ}\)48551254858062867972478384893910451170131015281775

    • Подключим плюс батареек к красному выводу на сером ящике:

    \(I,~мА\)54.94.84.74.64.54.44.34.24.143.93.83.73.6
    \(\varphi,^{\circ}\)146151155160166170176182190195202210217224234
    \(I,~мА\)3.53.43.33.23.132.92.82.72.62.52.42.32.22.1
    \(\varphi,^{\circ}\)2342452552672782953123303553874305006208701500

    Погрешность амперметра \(0.05~мА\).

    Предположим, светодиод в схеме расположен обратной полярностью, тогда (исходя из BAX светодиода) он не проводит ток, значит схема преобразуется в следующую (рис. 2):

    Рисунок

    Рис. 2

    Из закона Ома следует:

    \[I=\frac{U_{бат}}{R_{0}+R_A+R_{\sim}} \qquad(1)\]\[I=\frac{U_{бат}}{R_{0}+R_A+k \varphi} \qquad(2)\]Если же диод включен прямой полярностью, то зависимость \((2)\) будет справедлива вплоть до момента открытия светодиода. Преобразуем уравнение \((2)\) следующим образом:

    \[\frac{U_{бат}}{I}=R_{0}+R_A+k \varphi; \qquad(3)\]Если диод закрыт, то зависимость \(\dfrac{U_{бат}}{I}(\varphi)\) линейна, тангенс угла соответствует коэффициенту \(k\), а точка пересечения с осью ординат \(R_{0}+R_{A}\). Если полярность обратная, то зависимость будет линейна при любых углах. Отобразим полученные зависимости на графике:

    Рисунок

    Рис. 3. Минус батареек подключен к красному выводу на сером ящике

    Рисунок

    Рис. 4. Плюс батареек подключен к красному выводу на сером ящике

    Ответ:

    Из графиков становится очевидно, что выход красного цвета – 1, черного – 2

    A2. Проведя аппроксимирующую прямую на графике (а) (рисунок 3) находим коэффициенты в зависимости \((3)\):

    Ответ:

    \[k=(2.75 \pm 0.05) ~{Ом}/{{}^{\circ}}=(157 \pm 3)~ {Ом}/{рад}\]

    A3. \[R_{0}+R_{A}=(226 \pm 10)~Ом\]

    Ответ:

    \[R_{0}=(211 \pm 10)~Ом\]

    A4. График перестает быть линейным в момент «открытия» диода. Проведем на одном графике обе зависимости. В тот момент, когда зависимости начинают расходиться, диод открывается:

    Рисунок

    Рисунок 5

    В силу плохого класса точности миллиамперметра не удается более точно промерить момент открытия диода, поэтому выберем наиболее вероятный диапазон открытия светодиода: \[\left(\frac{E}{I}\right)_{\max}=10250~Ом,\qquad \left(\frac{E}{I}\right)_{\min }=970~Ом\] Посмотрим на последний момент, когда диод «закрыт». Тогда справедливо равенство \((3)\): \[\frac{E}{I}=k \varphi+R_{0}+R_{A}\implies k \varphi=\frac{E}{I}-R_{0}-R_{A}.\]Тогда падение напряжения (оно же и падение напряжения на светодиоде, так как светодиод подключен параллельно к реостату) на реостате \(E_р\) легко считается исходя из закона Ома по схеме на рис. 2:\[E_р=\frac{U_{бат} k \varphi}{k \varphi+R_{0}+R_{A}}=U_{бат} \frac{{E}/{I}-R_{0}-R_{A}}{{E}/{I}};\]\[U_{откр.\max}=3.17 \cdot\frac{1025-226}{1025}=2.47~В\] \[U_{откр.\min}=3.17 \cdot\frac{970-226}{970}=2.43~В\]

    Ответ:

    \[\langle U_{откр}\rangle=(2.45 \pm 0.02)~В\]

    Источник: pho.rs/p/4014.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх