Два друга

Удобно записать перемещения обоих камней за время \(\tau\) векторно: это треугольник, подобный треугольнику из начала и конца движения, а высота крыши связана с \(g\tau^2/2\).

Первое решение (векторное). Пусть \(\vec v_1\), \(\vec v_2\) — начальные скорости камней Андрюши и Бори. Перемещение тела за время \(t\) при равноускоренном движении с ускорением \(\vec g\) и начальной скоростью \(\vec v_0\) равно \(\Delta\vec r = \vec v_0 t + \dfrac{\vec g t^2}{2}\). На рисунке изображён треугольник перемещений камней.

Треугольники \(ABC\) и \(ADE\) подобны с коэффициентом \(\dfrac{n}{n+1}\). Значит, высота крыши \[h = \frac{n+1}{n}\cdot\frac{g\tau^2}{2}.\] Расстояние между мальчиками \[l = \frac{h}{\sin\alpha} = \frac{n+1}{n}\cdot\frac{g\tau^2}{2\sin\alpha} = 30~\text{м}.\]

Второе решение. Введём систему координат (см. рисунок). В момент выстрела Андрюша находился в точке \(A(0;0)\), а Боря — в точке \(D(l\cos\alpha;\, l\sin\alpha)\). Пусть \(C(x;y)\) — точка падения камней, \(v\) — модуль начальной скорости камня Бори. Тогда \[x = nv\tau\cos\alpha,\quad y = nv\tau\sin\alpha - \frac{g\tau^2}{2};\qquad x = l\cos\alpha - v\tau\cos\alpha,\quad y = l\sin\alpha - v\tau\sin\alpha - \frac{g\tau^2}{2}.\]

Из уравнений по оси абсцисс \(v = \dfrac{l}{(n+1)\tau}\). Точка \(C\) лежит на оси абсцисс, значит \(y = 0\): \[\frac{nl\sin\alpha}{n+1} = \frac{g\tau^2}{2} \quad\Rightarrow\quad l = \frac{n+1}{n}\cdot\frac{g\tau^2}{2\sin\alpha} = 30~\text{м}.\]