Задачи › Теплопроводность, закон охлаждения Ньютона

Вода в стакане

  1. Вода в стакане

    Санкт-Петербургская 2024/25, 9 кл.
    6/10

    В цилиндрический стакан постоянного сечения налили \(M_{\text{в}} = 150\) г воды при температуре \(T_1 = 80\,^\circ\)C и построили график зависимости температуры его содержимого от времени (см. график на отдельном листе).

    Рисунок

    После окончания эксперимента старую воду вылили и снова заполнили стакан водой той же массы \(M_{\text{в}}\) при той же температуре \(T_1\), после чего в него забросили кубик льда массы \(m_{\text{л}} = 5{,}9\) г при температуре \(T_2 = 0\,^\circ\)C.

    1. Какой будет температура содержимого стакана сразу после установления в нём теплового равновесия?

    2. Через какое время содержимое стакана достигнет температуры \(T_3 = 53\,^\circ\)C?

    Теплоёмкостью стакана пренебречь. Считайте, что тепловое равновесие внутри стакана устанавливается мгновенно, а мощность теплообмена с окружающей средой пропорциональна высоте уровня жидкости и разности температур по разные стороны от стенки стакана \(P_{\text{пот}} = \chi (T - T_0) h\). Удельная теплоёмкость воды \(c = 4200\) Дж/(кг\(\cdot{}^\circ\)C), удельная теплота плавления льда \(\lambda = 330\) кДж/кг. Неизвестная температура \(T_0\) окружающей среды в течение всего времени поддерживалась постоянной. Стакан достаточно высокий — вода из него ни в какой момент времени не выливается.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    1) \(T_* = 74\,^\circ\)C;  2) \(\Delta\tau = 14\) мин.

    Решение

    1. Уравнение теплового баланса после таяния льда: \[M_{\text{в}} c (T_1 - T_*) = m_{\text{л}}\lambda + m_{\text{л}} c (T_* - T_2),\] откуда \[T_* = \frac{M_{\text{в}} c T_1 + m_{\text{л}} c T_2 - m_{\text{л}}\lambda}{(M_{\text{в}} + m_{\text{л}}) c} \approx 74\,^\circ\text{C}.\]

    2. За малое время \(\Delta\tau\) из стакана уходит количество теплоты \(\chi h (T - T_0)\Delta\tau\), что равно теплоте, выделяющейся при охлаждении содержимого на \(|\Delta T|\): \(\chi h (T - T_0)\Delta\tau = -c\rho S h\Delta T\). Сокращая на \(h\), получаем \(\dfrac{\Delta T}{\Delta\tau} \propto T - T_0\). Зависимость температуры от времени не зависит от количества воды, поэтому график можно использовать для обоих случаев, отсчитывая время от точки графика, соответствующей температуре \(T_*\).

    Рисунок

    По графику \(\tau_1 = 3\) мин (температура \(T_*\)), \(\tau_2 = 17\) мин (температура \(T_3\)). Значит, \(\Delta\tau = \tau_2 - \tau_1 = 14\) мин.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх