Задачи › Сила Архимеда

Кубик под водой

  1. Кубик под водой

    Санкт-Петербургская 2024/25, 9 кл.
    5/10

    В комнате Арсения стоит сосуд с водой, дно которого горизонтально. Внутри него стоит однородный кубик с ребром \(a\), сделанный из неизвестного металла. Он полностью погружён в воду. Грани куба качественно отшлифованы, поэтому вода под его основание не подтекает. Чтобы оторвать куб от дна, Арсению нужно приложить вертикальную силу \(F_1\), а чтобы медленно и равномерно его поднимать — вертикальную силу \(F_2\). Ускорение свободного падения \(g\), плотность воды \(\rho_0\).

    1. Определите плотность \(\rho\) металла.

    2. Чему равна начальная глубина \(h\) погружения верхней грани куба?

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    1) \(\rho = \rho_0 + \dfrac{F_2}{g a^3}\);  2) \(h = \dfrac{F_1 - F_2}{\rho_0 g a^2} - a\).

    Решение

    1. Пусть \(m = \rho a^3\) — масса кубика. При равномерном подъёме на куб действуют сила тяжести \(m\vec g\), сила Архимеда \(\vec F_A\) (модуль \(\rho_0 g a^3\)) и сила \(\vec F_2\). По второму закону Ньютона в проекции на вертикальную ось \(-mg + F_A + F_2 = 0\), т.е. \(-\rho g a^3 + \rho_0 g a^3 + F_2 = 0\), откуда \[\rho = \rho_0 + \frac{F_2}{g a^3}.\]

    2. В момент отрыва кубика от дна вода под его основание не подтекает, поэтому силу Архимеда по формуле выше вычислять нельзя. Силы давления на боковые грани в силу симметрии компенсируют друг друга. Сила давления воды на верхнюю грань направлена вниз и равна \(F_\text{д} = p S = \rho_0 g h a^2\), где \(p = \rho_0 g h\) — давление на глубине \(h\). Второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось: \[-\rho g a^3 - \rho_0 g h a^2 + F_1 = 0 \quad\Rightarrow\quad h = \frac{F_1 - F_2}{\rho_0 g a^2} - a.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх