«Серый» ящик

Сравните напряжения между парами выводов. Если бы между выводами \(A\) и \(B\) был резистор почти нулевого сопротивления, два других напряжения совпадали бы. Для схемы «звезда» напряжение между \(A\) и \(B\) равно нулю, если источник подключён к выводу \(C\).

Внимание! Все измеренные значения приведены для авторской установки.

1. Измерим напряжения между выводами: \(U_{AB} = 0{,}0\) В, \(U_{AC} = 12{,}73\) В, \(U_{BC} = 6{,}82\) В. Если бы элементы были соединены «треугольником», между выводами \(A\) и \(B\) стоял бы резистор практически нулевого сопротивления. Тогда два других напряжения должны совпадать (или быть очень близкими), что не наблюдается. Значит, элементы соединены «звездой» или «цепочкой».

2. Предположим, что элементы соединены «звездой». Так как напряжение между выводами \(A\) и \(B\) равно нулю, источник подключён к выводу \(C\) (\(C\to 1\)). Напряжение между \(A\) и \(C\) больше, следовательно, резистор, подключённый к выводу \(A\), имеет меньшее сопротивление (\(A\to 2\)). Соответственно, \(B\to 3\).

3. Различие между значениями \(U_{AC}\) и \(U_{BC}\) показывает, что внутренним сопротивлением вольтметра пренебречь нельзя. Кроме того, омметр даже в режиме \(2\) МОм, подключённый к выводам \(A\) и \(B\) (2 и 3), «зашкаливает», что говорит о том, что \(r + R > 2\) МОм.

Вариант 1. У мультиметра минимальный предел измерения силы тока \(200\) мкА (серия 830).

4. Переведём мультиметр в режим микроамперметра (предел \(200\) мкА) и измерим силу тока между всеми парами выводов: \(I_{AB} = 0\), \(I_{AC} = 37{,}7\) мкА, \(I_{BC} = 10{,}6\) мкА.

5. Пусть \(R_V\) — сопротивление прибора в режиме вольтметра. Тогда \[U_{AC} = \frac{\mathcal{E} R_V}{R_V + r}, \qquad U_{BC} = \frac{\mathcal{E} R_V}{R_V + R}.\] С другой стороны, \(\mathcal{E} = I_{AC}\,r = I_{BC}\,R\). Отсюда \[\frac{R}{r} = \frac{I_{AC}}{I_{BC}} = \frac{37{,}7}{10{,}6} = 3{,}56, \qquad \frac{R_V + R}{R_V + r} = \frac{U_{AC}}{U_{BC}} = \frac{12{,}73}{6{,}82} = 1{,}87.\]

Получаем \(R_V + 3{,}56\,r = 1{,}87\,R_V + 1{,}87\,r\), откуда \(r = 0{,}514\,R_V\). Подставим найденное значение: \[U_{AC} = \frac{\mathcal{E}}{1 + 0{,}514} \quad\Rightarrow\quad \mathcal{E} = 1{,}514\,U_{AC} = 1{,}514 \cdot 12{,}73~\text{В} \approx 19{,}3~\text{В}.\] \[r = \frac{\mathcal{E}}{I_{AC}} = \frac{19{,}3~\text{В}}{37{,}7~\text{мкА}} = 512~\text{кОм}, \qquad R = \frac{\mathcal{E}}{I_{BC}} = \frac{19{,}3~\text{В}}{10{,}6~\text{мкА}} = 1{,}82~\text{МОм}.\]

Вариант 2. У мультиметра минимальный предел измерения силы тока \(2000\) мкА (серии 832 и 838).

4. Переведём мультиметр в режим микроамперметра (предел \(2000\) мкА) и измерим силу тока между всеми парами выводов: \(I_{AB} = 0\), \(I_{AC} = 38\) мкА, \(I_{BC} = 11\) мкА.

5. Аналогично варианту 1, \(\dfrac{R}{r} = \dfrac{38}{11} = 3{,}45\) и \(\dfrac{R_V + R}{R_V + r} = \dfrac{12{,}7}{6{,}82} = 1{,}87\), откуда \(r = 0{,}55\,R_V\). Тогда \(\mathcal{E} = 1{,}55\,U_{AC} = 1{,}55 \cdot 12{,}73~\text{В} \approx 19{,}7\) В, \(r = \dfrac{19{,}7~\text{В}}{38~\text{мкА}} = 520\) кОм, \(R = \dfrac{19{,}7~\text{В}}{11~\text{мкА}} = 1{,}8\) МОм.

6. Теперь предположим, что внутри ящика элементы соединены «цепочкой». В этом случае результаты измерения напряжения дают то же соответствие (\(C\to 1\), \(A\to 2\), \(B\to 3\)), так как сумма сопротивлений между выводами \(A\) и \(B\) всегда больше \(r\).

7. Для соединения «цепочкой» все приведённые выше формулы остаются справедливыми с точностью до замены \(R \to r + R\). Отсюда для варианта 1 получаем \(r = 511\) кОм, \(r + R = 1{,}82\) МОм, то есть \(R = 1{,}31\) МОм. Однако, как сказано выше, омметр, подключённый к выводам 2 и 3, зашкаливает, хотя для соединения цепочкой он должен показывать значение \(R\).

8. Полученное противоречие говорит о том, что внутри ящика элементы соединены «звездой».

Вычисленные значения: вариант 1 — \(\mathcal{E} = 19{,}3\) В, \(r = 512\) кОм, \(R = 1{,}82\) МОм; вариант 2 — \(\mathcal{E} = 19{,}7\) В, \(r = 520\) кОм, \(R = 1{,}82\) МОм.

9. Примечание: значения, измеренные напрямую в авторской установке: \(\mathcal{E} = 19{,}20\) В, \(r = 507\) кОм, \(R = 1{,}8\) МОм.

10. Общие формулы (их вывод от участников олимпиады не требуется): \[\mathcal{E} = \frac{U_{AC}U_{BC}(I_{AC}-I_{BC})}{I_{AC}U_{BC}-I_{BC}U_{AC}}, \quad r = \frac{U_{AC}U_{BC}(I_{AC}-I_{BC})}{I_{AC}\,(I_{AC}U_{BC}-I_{BC}U_{AC})}, \quad R = \frac{U_{AC}U_{BC}(I_{AC}-I_{BC})}{I_{BC}\,(I_{AC}U_{BC}-I_{BC}U_{AC})}.\]