Капельная линза

IEPhO 2021/22, 9 кл.

5/10

В задаче не требуется оценка погрешностей!

Если налить воду в центр шайбы так, чтобы объем воды немного превышал объем выреза в шайбе, то вода будет выступать над верхней поверхностью шайбы, образуя «шапочку» (см. рис. 1).

Рис. 1. Водяная линза

Такая водяная конструкция может работать как плосковыпуклая линза. Фокусное расстояние такой линзы может быть рассчитано по формуле: \[F=\frac{R}{n-1}, \tag{1}\] где \(R\) — радиус кривизны поверхности линзы; \(n=1.33\) – показатель преломления воды.

Можно предположить, что вода в «шапочке» принимает форму шарового сегмента. Объем шарового сегмента \(v\) равен: \[v=\pi h^2 \left(r-\frac{h}{3} \right), \tag{2}\] где \(r\) – радиус сегмента сферы, \(h\) – высота сегмента (см. рис. 2).

Рис. 2. Шаровой сегмент

Задание

Намажьте наиболее ровную часть шайбы вазелином. Прижмите шайбу к предметному стеклу так, чтобы вазелин не выступал во внутреннюю область шайбы и не ухудшал видимость через отверстие шайбы. Расположите предметное стекло горизонтально шайбой вверх и налейте небольшое количество воды внутрь шайбы с помощью шприца с иглой. Вазелин должен препятствовать вытеканию воды из шайбы. Если шайба протекает или вазелин попал внутрь шайбы, сотрите вазелин с предметного стекла и шайбы и повторите опыт.

Соберите установку, представленную на рисунке 3. Фонарик используйте в наиболее ярком режиме работы. Расстояние \(b\) сделайте максимально возможным.

Рис. 3. Установка для измерения фокусного расстояния

Если поднести экран (линейку) в область под шайбой, то можно заметить, что возникает два резких изображения в разных точках. Вид получаемых изображений показан на рисунке 4. Пронаблюдайте этот эффект.

Рис. 4. Фотографии изображений

A1. Измерьте зависимость расстояния \(a\) до каждого из изображений от объема воды \(V\), налитого в середину шайбы, при постоянном \(b\). Объем воды можно определить, используя помещенное внутрь шайбы число капель. Измерения расстояний \(a\) проводите только в той области, где линза является собирающей. Изображения лучше всего видны на белой бумаге.

A2. По полученным в пункте A1 данным рассчитайте фокусные расстояния линзы, соответствующие двум изображениям. Из полученных фокусных расстояний рассчитайте объёмы «шапочки», предполагая, что она является сферическим сегментом.

A3. Постройте график зависимости рассчитанного объема \(v\) для двух найденных вами фокусов от налитого в центр шайбы объема \(V\). Обе зависимости изобразите на одном графике.

A4. Каким должен быть теоретический график \(v(V)\), если считать, что капля принимает форму сферического сектора? Является ли верным предположение о том, что полученную водяную линзу можно считать шаровым сегментом?

Свой ответ обоснуйте.

A5. Объясните, почему свет фокусируется в нескольких точках. Дайте краткое объяснение возможного расхождения экспериментальных данных пункта A3 с теоретическими предположениями пункта A4.

Оборудование

Предметное стекло
Шайба с внутренним диаметром \(d=10.6~ мм\)
Стакан с водой
Шприц на \(1~мл\) с иглой
Тюбик с косметическим вазелином
Штатив
Брусок
Линейка \(15~ см\)
Рулетка
Малярная лента
Ножницы
Бумажная линейка
Фонарик
Стул с плоским сиденьем
Салфетки для поддержания чистоты оборудования
Ножницы
Один из выданных бланков можно использовать в качестве оборудования

▶Показать разборСкрыть разбор

Решение

A1. Соберем из шайбы, предметного стекла и вазелина конструкцию, описанную в условии. Объем водяной линзы крайне мал. Для его измерения будем считать количество капель, упавших в центр шайбы с конца иглы шприца. Предварительно определим объем одной капли. Будем выдавливать капли из шприца поршнем и измерять зависимость количества упавших капель от положения поршня. Построим соответствующий график и определим его угловой коэффициент, который и будет являться объемом одной капли.

\(n, ~шт\)	0	20	40	60	80	100	120	140
\(V_{шприца}, ~мл\)	0.96	0.84	0.72	0.60	0.48	0.36	0.24	0.12

График зависимости объема воды внутри шприца от количества упавших с конца иглы капель

Рассчитав угловой коэффициент графика, получаем для одной капли:

\[V_1=6.0 \text{мкл}.\]Для измерения фокусного расстояния соберем установку, изображенную на рисунке 3. Будем использовать короткую линейку в качестве экрана, стараясь при измерениях не задевать брусок, чтобы поверхность воды в водяной линзе не волновалась. Расстояние между фонариком и линзой \(b\) сделаем как можно большим для того, чтобы изображения светодиода фонарика было как можно меньшего размера для остроты фокусировки.

Измерим зависимость расстояний между изображениями и линзой \(a\) от количества капель, упавших в центр шайбы, \(N\) при неизменном расстоянии между фонариком и экраном \(b=862~мм\).

Рассчитаем объем воды в шайбе как:

\[V=NV_1. \tag{3}\]Фокусное расстояние рассчитаем на основе формулы тонкой линзы:

\[F=\frac{ab}{a+b}. \tag{4}\]Радиус кривизны поверхности линзы рассчитаем в соответствии с формулой:

\[R=(n-1)F. \tag{5}\]Предполагая, что вода над верхней поверхностью шайбы принимает форму шарового сегмента, можем рассчитать высоту шарового сегмента, исходя из геометрических соображений:

\[h=R-\sqrt{R^2- \left(\frac{D}{2} \right)^2}. \tag{6}\]Объем воды над верхней поверхностью шайбы тогда может быть рассчитан на основе формулы:

\[v=\pi h^2 \left(r-\frac{h}{3} \right), \tag{7}\]Занесем измерения и расчетные величины в таблицы.

Таблица для дальнего фокуса

Ответ:

\(N\)	\(V, ~мкл\)	\(a_1, ~мм\)	\(F_1,~ мм\)	\(R_1, ~мм\)	\(h_1,~ мм\)	\(v_1,~ мкл\)
29	174	134	116.0	38.3	0.37	16
30	180	109	96.8	31.9	0.44	20
31	186	94	84.8	28.0	0.51	22
32	192	82	74.9	24.7	0.58	25
33	198	72	66.4	21.9	0.65	29
34	204	67	62.2	20.5	0.70	31
35	210	60	56.1	18.5	0.77	34
36	216	54	50.8	16.8	0.86	38
37	222	49	46.4	15.3	0.95	42
38	228	45	42.8	14.1	1.03	46
39	234	42	40.0	13.2	1.11	50
40	240	39	37.3	12.3	1.20	54
41	246	37	35.5	11.7	1.27	57
42	252	36	34.6	114	1.31	59
43	258	35	33.6	11.1	1.35	61
44	264	35	33.2	10.9	1.37	62
45	270	34	32.7	10.8	1.39	63

Таблица для ближнего фокуса

Ответ:

\(N\)	\(V, ~мкл\)	\(a_2, ~мм\)	\(F_2,~ мм\)	\(R_2, ~мм\)	\(h_2,~ мм\)	\(v_2,~ мкл\)
29	174	94	84,8	28	0.51	22
30	180	78	71.5	23.6	0.60	27
31	186	62	57.8	19.1	0.75	33
32	192	55	51.7	17.1	0.84	38
33	198	48	45.5	15.0	0.97	43
34	204	42	40.0	13.2	1.11	50
35	210	38	36.4	12.0	1.23	55
36	216	35	33.6	11.1	1.35	61
37	222	32	30.9	10.2	1.49	67
38	228	29	28.1	9.3	1.67	76
39	234	27	26.2	8.6	1.82	83
40	240	25	24.3	8.0	2.00	92
41	246	24	23.3	7.7	2.11	98

A2. Результаты пересчёта точек приведены в таблице выше.

A3. Построим графики зависимостей расчетных объемов воды в капельной линзе \(v\) от измеренного \(V\), исходя из данных о двух разных фокусах. Резкий изгиб графиков при больших объемах капли соответствует началу вытекания капли из внутренней области шайбы. Не будем обращать внимания на эту область графиков.

Ответ:

График зависимости расчетного объема воды в шайбе от измеренного

A4. Видно, что оставшиеся части графиков можно описать линейными функциями. Некоторое смещение графиков говорит о том, что в шайбе кроме воды в шапочке есть еще и вода в отверстии. Для теоретического графика угловой коэффициент данной зависимости равен единице \(k_{theor}=1\). Однако угловые коэффициенты аппроксимирующих прямых для разных фокусов составляют \(k_2=0.57\) и \(k_1\approx 1.1\). Это объясняется тем, что вода принимает не сферическую форму. В центральной части капли радиус кривизны поверхности больше, что соответствует нижнему фокусу. А по краям шайбы радиус кривизны меньше (рис. 5). То есть края линзы создают ближнее к линзе изображение, а центр линзы формирует дальнее изображение (рис. 6). Значение \(k_{theor}\), отвечающее модели сферической формы «шапочки» лежит в пределах измеренных коэффициентов \(k_1\) и \(k_2\).

Рис. 5. Качественное сравнение отклонения формы <<шапочки>> от модели сферического сегмента

A5. Форма «шапочки» определяется конкуренцией двух типов сил: гравитации и поверхностного натяжения. Так или иначе «шапочка» определенного объема принимает такую форму, при которой сумма потенциальной энергии силы тяжести и энергии, связанной с поверхностью капли, минимизируется. Модель сферического сегмента верна лишь в тех случаях, когда потенциальной энергией силы тяжести можно пренебречь по сравнению с поверхностной энергией. Объем «шапочки», а вместе с тем и ее гравитационная энергия пропорциональны кубу ее характерного размера. Поверхностная же энергия пропорциональна квадрату характерного размера. Поэтому для шайб малого диаметра форма шапочки будет определяться поверхностным натяжением и вполне описывается моделью сферического сектора. Для больших шайб капля будет практически плоской. В этих случаях ключевую роль играет гравитационная энергия.

Качественное объяснение формирования двух изображений в капельной линзе

Источник: pho.rs/p/3260.

Вся олимпиада на сайте

в вариантСтраница задачиОшибка в задаче?

Капельная линза

Капельная линза

Похожие задачи