Сообщающиеся сосуды

Сравните давления у дна двух сосудов. С поршнем уровни сравняются на высоте \(5H/4\) — проверьте, не опустится ли при этом граница жидкостей в левом сосуде до трубочки: от этого зависит ответ.

Плотность \(\rho_2\) находим из условия равенства давлений жидкости у дна в левом и правом сосудах: \[\rho_2 g h + \rho_1 g\left(\frac32 H - h\right) = \rho_1 g H,\] \[\rho_2 = \rho_1\left(1 - \frac{H}{2h}\right).\] Уровни жидкости в двух половинках сосуда сравняются и станут равны \(\dfrac{5H}{4}\), т. е. в левом сосуде уровень опустится на \(\dfrac{H}{4}\), а в правом поднимется на \(\dfrac{H}{4}\). Следует также иметь в виду, что согласно условию \(h\) всегда больше \(\dfrac{H}{2}\) (\(h > \dfrac{H}{2}\)).

В зависимости от величины \(h\) в задаче возможны 2 случая.

1. \(h < H\), нижняя граница второй жидкости не опустится до уровня трубочки. В этом случае масса поршня находится из условия равенства давлений у дна сосуда: \[\frac{mg}{S} + \rho_2 g h + \rho_1 g\left(\frac{5H}{4} - h\right) = \rho_1 g\,\frac{5H}{4}.\] Откуда \[m = (\rho_1 - \rho_2)hS = \rho_1\frac{H}{2}S.\]

2. В случае \(\dfrac{5H}{4} > h > H\) нижний уровень жидкости с плотностью \(\rho_2\) в процессе опускания поршня дойдёт до трубочки, жидкость начнёт перетекать в правый сосуд и будет в нём всплывать вверх, так как \(\rho_2 < \rho_1\). Теперь, если считать от дна, жидкость с плотностью \(\rho_1\) в левом сосуде доходит до уровня \(\dfrac{H}{4}\), а столб жидкости с плотностью \(\rho_2\) имеет высоту \(H\). Из условия сохранения объёмов следует, что столб жидкости с \(\rho_1\) в правом сосуде теперь имеет высоту \(\left(\dfrac{9H}{4} - h\right)\), а высота столба жидкости с плотностью \(\rho_2\) равна \((h - H)\).

Отсюда получаем \[\frac{mg}{S} + \rho_2 g H + \rho_1 g\,\frac{H}{4} = \rho_1 g\left(\frac{9H}{4} - h\right) + \rho_2 g(h - H)\] или \[m = \rho_1(2H - h)S + \rho_2(h - 2H)S = \rho_1\frac{H(2H - h)}{2h}S.\]