Нелинейная картина

Пунктирная граница — это случаи, когда в итоге весь лёд при \(0\,^\circ\)C: вода остыла и замёрзла, отдав тепло на нагрев льда. Теплоёмкость льда линейна по температуре, так что тепло на нагрев считается через среднюю теплоёмкость; подставьте в уравнение границы две удобные точки диаграммы.

1. Первый способ. Пунктирная линия на диаграмме, разделяющая состояния «лёд» и «смесь воды и льда», соответствует льду при температуре плавления \(0\,^\circ\)C. Выведем уравнение данной линии. Количество теплоты, которое вода отдаёт при остывании до \(0\,^\circ\)C и кристаллизации: \(Q_\text{отд} = 2cm_\text{в}t_\text{в} + m_\text{в}\lambda\). Средняя удельная теплоёмкость льда при нагревании от \(t_\text{л}\) до \(0\,^\circ\)C равна \(c_\text{ср} = \dfrac{c + (c + \alpha t_\text{л})}{2} = c + \dfrac{\alpha t_\text{л}}{2}\). Тогда количество теплоты, необходимое для нагревания льда до \(0\,^\circ\)C, равно \(Q_\text{получ} = c_\text{ср}m_\text{л}(-t_\text{л}) = -\left(c + \dfrac{\alpha t_\text{л}}{2}\right)m_\text{л}t_\text{л}\). Так как тепловых потерь нет, \(Q_\text{отд} = Q_\text{получ}\). Используя обозначения \(\gamma = m_\text{л}/m_\text{в}\) и \(\lambda = 2cT\), получим искомую зависимость: \[t_\text{в}(t_\text{л}) = -T - \frac{\gamma t_\text{л}}{2} - \frac{\alpha\gamma t_\text{л}^2}{4c}. \tag{1}\] Подставив в уравнение (1) точки \((-95; 80)\) и \((-55; 20)\) из диаграммы, в которых пунктирная линия хорошо попадает на узлы координатной сетки, получим \[\gamma = 4{,}0, \qquad \alpha = 7{,}0\text{ Дж/(кг}\cdot({}^\circ\text{C})^2).\]

Второй способ. Пунктирная линия на диаграмме, разделяющая состояния «лёд» и «смесь воды и льда», соответствует льду при температуре плавления \(0\,^\circ\)C. Найдём угловой коэффициент касательной, проведённой к этой пунктирной линии, в точке \((t_\text{л}; t_\text{в})\). Пусть кусок льда взят при температуре \(t_\text{л} - \Delta t_\text{л}\) (\(\Delta t_\text{л} \ll t_\text{л}\)). Определим, на сколько градусов \(\Delta t_\text{в}\) теплее необходимо взять воду, чтобы содержимым сосуда был лёд при \(0\,^\circ\)C. Дополнительное количество теплоты, необходимое для плавления льда, равно \(\Delta Q_\text{л} = c_\text{л}(t_\text{л})m_\text{л}\Delta t_\text{л}\). Это тепло берётся из-за более тёплой воды: \(\Delta Q_\text{в} = 2cm_\text{в}\Delta t_\text{в}\). Так как тепловых потерь нет, \(\Delta Q_\text{в} = \Delta Q_\text{л}\). Модуль углового коэффициента касательной \[k = \frac{\Delta t_\text{в}}{\Delta t_\text{л}} = \frac{c_\text{л}(t_\text{л})m_\text{л}}{2cm_\text{в}} = \frac{\gamma}{2}\left(1 + \frac{\alpha}{c}t_\text{л}\right). \tag{1^*}\] Этот же результат можно было получить дифференцированием по \(t_\text{л}\) выражения (1), полученного в первом методе решения. Подставив в уравнение (1*) значения для модулей угловых коэффициентов касательных \(k_1 = \left|\dfrac{80 - 20}{(-90) - (-55)}\right| = 1{,}714\) и \(k_2 = \left|\dfrac{80 - 0}{(-95) - (-35)}\right| = 1{,}333\), проведённых к точкам пунктирной линии \(t_\text{л}^{(1)} = -43\,^\circ\)C и \(t_\text{л}^{(2)} = -100\,^\circ\)C соответственно, получим \[\gamma = 4{,}0, \qquad \alpha = 7{,}0\text{ Дж/(кг}\cdot({}^\circ\text{C})^2).\]

Реальная зависимость (табличные данные) удельной теплоёмкости льда от его температуры имеет такой вид (см. рисунок).

2. В диаграмме, данной в условии, масса льда была в 4 раза больше массы воды, поэтому конечным состоянием содержимого сосуда не могла быть вода. В данном же пункте задачи, возможно, что конечным состоянием содержимого сосуда может быть и вода. Найдём уравнение линии, соответствующей воде при \(0\,^\circ\)C. Количество теплоты, которое вода отдаёт при остывании до \(0\,^\circ\)C: \(Q_\text{отд} = 2cm_\text{в}t_\text{в}\). Количество теплоты, необходимое для нагревания льда до \(0\,^\circ\)C и его плавления: \(Q_\text{получ} = -\left(c + \dfrac{\alpha t_\text{л}}{2}\right)m_\text{л}t_\text{л} + m_\text{л}\lambda\). Из уравнения \(Q_\text{отд} = Q_\text{получ}\) получим искомую зависимость: \[t_\text{в}(t_\text{л}) = \gamma T - \frac{\gamma t_\text{л}}{2} - \frac{\alpha\gamma t_\text{л}^2}{4c}. \tag{2}\] Если свободный член в уравнении (2) меньше температуры кипения воды \(100\,^\circ\)C, то на диаграмме будет область, соответствующая состоянию «вода». Это наш случай, так как \(\gamma_0 = \dfrac{m_\text{л}}{m_\text{в}} = 1 < \dfrac{100\,^\circ\text{C}}{80\,^\circ\text{C}}\). В градусах Цельсия уравнение (2) примет вид \[t_\text{в}(t_\text{л}) = 80 - \frac{t_\text{л}}{2} - \frac{t_\text{л}^2}{1200}. \tag{2^*}\] Найдём характерные точки, соответствующие данной зависимости. Одна из точек очевидна — \((0\,^\circ\text{C}; 80\,^\circ\text{C})\). Вторую точку найдём как точку пересечения с прямой \(t_\text{в}(t_\text{л}) = 100\,^\circ\)C: \[100 = 80 - \frac{t_\text{л}}{2} - \frac{t_\text{л}^2}{1200}.\] Решение этого квадратного уравнения даёт \(t_\text{л} \approx -43\,^\circ\)C (второй корень не попадает в разрешённый диапазон \([-100\,^\circ\text{C}; 0\,^\circ\text{C}]\)). Итак, вторая характерная точка — \((-43\,^\circ\text{C}; 100\,^\circ\text{C})\). Покажем, что на нашей диаграмме не будет состояния «лёд». Действительно, условие пересечения линии, соответствующей льду при \(0\,^\circ\)C, с осью абсцисс имеет вид \[0 = -T - \frac{t_\text{л}}{2} - \frac{\alpha t_\text{л}^2}{4c}.\] То есть точка пересечения \(t_\text{л}\) такова, что \(-T - \dfrac{t_\text{л}}{2} > 0 \Leftrightarrow t_\text{л} < -160\,^\circ\)C. Таким образом, на рассматриваемой области \([-100\,^\circ\text{C}; 0\,^\circ\text{C}]\) пересечения нет, а значит, нет и состояния чистого льда на диаграмме. Вид искомой диаграммы изображён на рисунке.