Три блока и три груза

Нить нерастяжима: сумма всех удлинений участков должна равняться нулю. Найдите перемещение среднего блока за малый интервал времени.

Рассмотрим положение системы тел в какой-либо момент времени и найдем их перемещения за малый интервал времени \(\Delta t\), прошедший после этого момента. Верхний блок сдвинется вверх на величину \(2v\Delta t\), тело 2 (и, следовательно, нижний блок) — вниз на величину \(v\Delta t\), тело 3 — вниз на величину \(v\Delta t\). Эти перемещения приведут к тому, что в ряде участков потребуется дополнительная длина нити. Она может освободиться только при перемещении среднего блока вниз (см. рисунок; новые положения блоков показаны тонкими линиями). Найдем его перемещение.

Пусть средний блок опустился вниз на величину \(\Delta x\). Тогда в самом левом участке (от верхнего до нижнего блока) потребуется дополнительная нить длиной \(2v\Delta t+v\Delta t=3v\Delta t\); кусок нити от верхнего блока до среднего удлинится на \(2v\Delta t+\Delta x\); кусок нити от нижнего блока до среднего удлинится на \(v\Delta t-\Delta x\), на такую же величину удлинится участок нити от правого блока до груза. А поскольку нить нерастяжима, сумма всех удлинений должна равняться нулю: \[3v\Delta t+2v\Delta t+\Delta x+2\left(v\Delta t-\Delta x\right)=0.\] Отсюда находим, что \[\Delta x=7v\Delta t.\qquad(*)\] Теперь легко найти перемещение груза 1. Если бы верхний блок не перемещался, а перемещался только средний (правый), то за счет его перемещения на величину \(\Delta x=7v\Delta t\) веревка из области слева от верхнего блока будет вытянута на такую величину, и, следовательно, на такую величину поднимется тело 1. Но за счет подъема верхнего блока на \(2v\Delta t\) понадобится еще два кусочка веревки такой длины (слева и справа от верхнего блока). Поэтому груз 1 поднимется на величину \(11v\Delta t\), и его скорость будет равна \[v_1=11v,\] направлена вверх.