Удар футболиста по мячу

Максимальная скорость мяча равна начальной \(V_0\), минимальная — горизонтальной составляющей \(V_0\cos\alpha\) в верхней точке. Время полёта даёт \(V_0\sin\alpha\).

1. Время подъёма равно половине времени полёта, поэтому \(H = \dfrac{g(0{,}5T)^2}{2} = \dfrac{gT^2}{8} = 20\) м.

Далее \(V_0\sin\alpha = \dfrac{gT}{2}\), а из отношения скоростей \(\dfrac{V_{MAX}}{V_{MIN}} = \dfrac{V_0}{V_0\cos\alpha} = n\) получаем \(\cos\alpha = \dfrac1n\), \(\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{n^2-1}}{n}\).

2. Горизонтальная дальность полёта \[S = \frac{2V_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g} = \frac{gT^2}{2\sqrt{n^2-1}} \approx 46~\text{м}.\]

3. Радиус кривизны начального участка найдём из \(R = \dfrac{V_0^2}{a_n}\), где нормальное ускорение \(a_n = g\cos\alpha\) в начальной точке: \[R = \frac{V_0^2}{g\cos\alpha} = \frac{n^3}{4(n^2-1)}\,gT^2 \approx 107~\text{м}.\]