Задачи › Динамика со связями: клинья, стержни

Шайба на покоящемся клине

  1. Шайба на покоящемся клине

    Физтех 2024/25, 9 кл.
    5/10

    На шероховатой горизонтальной плоскости стоит клин. Шайбу кладут на шероховатую наклонную плоскость клина и сообщают шайбе начальную скорость. Шайба движется по покоящемуся клину. Часть зависимости модуля скорости шайбы от времени представлена на графике к задаче. Поступательное движение шайбы до и после остановки происходит по одной и той же прямой. Масса шайбы \(m = 0{,}2\) кг, масса клина \(2m\). Ускорение свободного падения \(g = 10~\text{м/с}^2\).

    Рисунок
    Рисунок

    1. Найдите \(\sin\alpha\), здесь \(\alpha\) — угол, который наклонная плоскость клина образует с горизонтом.

    2. Найдите модуль \(F_{ТР}\) наибольшей силы трения, с которой горизонтальная плоскость действует на клин в процессе движения шайбы по клину при \(0 < t < 0{,}3\) с.

    3. При каких значениях коэффициента \(\mu\) трения скольжения клина по горизонтальной плоскости клин будет находиться в покое при \(0 < t < 0{,}3\) с?

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    По графику найдите модули ускорений шайбы при движении вверх и вниз по клину. Пока клин покоится (это проверяется в пункте 3), сумму внешних сил на систему «клин и шайба» запишите через ускорение шайбы.

    Ответ

    1) \(\sin\alpha = 0{,}6\);  2) \(F_{ТР} = 1{,}28~\text{Н}\);  3) \(\mu \geq 0{,}25\).

    Решение

    По графику модуль ускорения при подъёме \(a_1 = g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha) = 8~\text{м/с}^2\), при спуске \(a_2 = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha) = 4~\text{м/с}^2\).

    1. \(\sin\alpha = \dfrac{a_1 + a_2}{2g} = 0{,}6\), отсюда \(\cos\alpha = 0{,}8\).

    Для системы тел, взаимодействующих по третьему закону Ньютона, сумма произведений масс на ускорения равна сумме внешних сил. Считаем клин покоящимся (условие этого проверено в пункте 3), тогда при движении шайбы по клину \[m\vec a_1 + 2m\cdot\vec 0 = m\vec g + 2m\vec g + \vec N + \vec F_{ТР}.\]

    2. Проекция на горизонталь: \(F_{ТР} = ma_1\cos\alpha = 0{,}2\cdot 8\cdot 0{,}8 = 1{,}28\) Н (учтено, что \(a_1 > a_2\)).

    3. Проекция на вертикаль: \(N = 3mg - ma_1\sin\alpha\). Условие покоя клина \(F_{ТР} \le \mu N\): \[\mu \geq \frac{F_{ТР}}{N} = \frac{a_1\cos\alpha}{3g - a_1\sin\alpha} \approx 0{,}25.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх