Метод изображений

Введение. Метод изображений

На расстоянии \(d\) от центра металлической заземленной сферы \(S\) радиуса \(R\) находится точечный заряд \(q\). При этом на сфере появляется индуцированный заряд, распределенный по ее поверхности с некоторой поверхностной плотностью.

Электрическое поле и потенциал, которые создают заряды, индуцированные на поверхности сферы, совпадают с электрическим полем и потенциалом, создаваемыми одним точечным зарядом \(q'\), который находится внутри сферы (рис. 1).

Часть A. Заряд-изображение

A1. Чему равен потенциал сферы?

A2. Выразите \(q'\) и \(d'\) (расстояние от центра сферы \(S\) до заряда-изображения \(q'\)) через величины \(q\), \(d\) и \(R\).

A3. Получите выражение для силы, которая действует на заряд \(q\). Отталкивающая ли эта сила?

Часть B. Электрическое поле, экранированное сферой

Точечный заряд находится на расстоянии \(d\) от центра заземленной металлической сферы радиуса \(R\). Необходимо определить, как влияет заземленная металлическая сфера на электрическое поле в точке \(A\) с противоположной стороны сферы (рис. 2). Точка \(A\) находится на прямой, соединяющей заряд \(q\) и центр сферы. Расстояние от точки \(A\) до точечного заряда \(q\) равно \(r\).

B1. Определите вектор напряженности электрического поля в точке \(A\).

B2. Запишите выражение для напряженности электрического поля на большом расстоянии \(r\) от заряда (\(r \gg d\)). Используйте приближение \((1+a)^{-2} \approx 1 - 2a\), при \(a \ll 1\).

B3. Определите расстояние \(d\), при котором заземленная металлическая сфера полностью экранирует поле заряда \(q\) (напряженность поля в точке \(A\) равна 0).

Часть C. Малые колебания в поле заземленной металлической сферы

Точечный заряд \(q\) массой \(m\) подвешен на нити длиной \(L\), закрепленной на стене вблизи заземленной металлической сферы. Точка, в которой нить крепится к стене, находится на расстоянии \(l\) от центра сферы. При решении этой части не учитывайте электростатическое влияние стены, а также действие гравитационных сил. Точечный заряд рассматривайте как математический маятник (рис. 3).

C1. Определите силу, которая действует на заряд \(q\) при заданном угле \(\alpha\). Укажите направление силы на рисунке.

C2. Выразите проекцию этой силы на ось, перпендикулярную нити, через \(l\), \(L\), \(R\), \(q\) и \(\alpha\).

C3. Определите частоту малых колебаний маятника.

Часть D. Электростатическая энергия системы

Вычислим энергию электростатического взаимодействия в такой системе. Не забудьте про взаимодействие между самими индуцированными зарядами. Считайте известными заряд \(q\), радиус сферы \(R\) и расстояние \(d\).

D1. Найдите электростатическую энергию взаимодействия заряда \(q\) и индуцированных зарядов на поверхности сферы.

D2. Найдите электростатическую энергию взаимодействия зарядов, индуцированных на поверхности сферы.

D3. Найдите полную электростатическую энергию взаимодействия системы.

Указание: Вы можете воспользоваться интегралом

\[\int\limits_d^{\infty} \frac{x \, dx}{\left(x^2-R^2\right)^2} = \frac{1}{2} \frac{1}{d^2 - R^2}.\]