Физика дымовой трубы
6/10Газообразные продукты горения из топки выводятся в атмосферу, имеющую температуру \(T_{воз}\), с помощью высокой дымовой трубы с поперечным сечением \(S\) и высотой \(h\) (см. рис). В топке происходит сгорание твёрдого топлива при температуре \(T_{дым}\). Объём газов, выходящих из трубы за единицу времени, равен \(B\).
Предполагается, что:
скоростью газов на входе в топку можно пренебречь;
образовавшиеся газы имеют такую же плотность, как и воздух при тех же температуре и давлении; пока газ находится в топке, его можно рассматривать как идеальный;
давление воздуха изменяется с высотой в соответствии с законами гидростатики; изменением плотности воздуха с высотой можно пренебречь;
течение газов удовлетворяет уравнению Бернулли, которое утверждает, что величина \[\frac12\rho v^2(z)+\rho gz+p(z)=\operatorname{const}\] сохраняется в любой точке потока; здесь \(\rho\) — плотность газа, \(v(z)\) — его скорость, \(p(z)\) — его давление, \(z\) — высота;
изменением плотности газов вдоль трубы можно пренебречь.
A1. Какова должна быть минимальная высота трубы для обеспечения её нормальной работы, чтобы она могла отводить в атмосферу все образующиеся в топке тазы? Выразите результат через \(B,S,T_{воз}, g=9.81~м/с^2, \Delta T=T_{дым}-T_{воз}\) Внимание! В каждом последующем задании предполагается, что высота трубы как раз равна найденной здесь минимальной высоте.
A2. Предположим, что построены две дымовые трубы, предназначенные для одних и тех же целей Они имеют одинаковое поперечное сечение, но предназначены для работы в различных местностях: одна — в холодной местности, где средняя температура воздуха равна \(t_1=-30~^\circ\mathrm C\), а другая — в тёплой местности, где средняя температура воздуха равна \(t_2=30~^\circ\mathrm{C}\). Температура выделяющихся газов составляет \(t_\text{дым}=400~^\circ\mathrm C\). Если расчётная высота трубы в холодной местности равна \(h_1=100~м\), то какова должна быть высота трубы \(h_2\) в тёплой местности?
A3. Как изменяется скорость течения газов вдоль трубы? Постройте график этой зависимости, предполагая, что поперечное сечение трубы постоянно. Обозначьте на графике точку вхождения газов в трубу.
A4. Как изменяется давление газов с высотой внутри трубы?
Солнечная электростанция
Движение газов через трубу можно использовать для создания солнечной электростанции. Идею такой электростанции иллюстрирует рисунок. Солнце нагревает воздух под коллектором площадью \(S_k\), который открыт по периметру, чтобы воздух мог свободно поступать внутрь. Тёплый воздух поднимается вверх по дымоходу (тонкие сплошные стрелки), а холодный поступает в коллектор извне (толстые пунктирные стрелки), тем самым обеспечивается непрерывная циркуляция воздуха. Поток воздуха приводит в движение турбину, таким образом вырабатывается электрическая энергия. Энергию солнечного излучения, падающего на единицу площади поверхности коллектора за единицу времени, обозначим через \(G\). Предположим, что вся эта энергия идёт на нагревание воздуха в коллекторе (удельная теплоёмкость воздуха равна \(c\), eë зависимостью от температуры можно пренебречь). КПД солнечной электростанции на основе трубы определим как отношение кинетической энергии потока воздуха в трубе к энергии солнечного излучения, идущей на нагревание этой же массы воздуха перед поступлением в трубу.
Схема солнечной электростанции на основе трубы
B1. Каков КПД солнечной электростанции на основе трубы? Ответ выразите через \(g\), \(c\), \(T_\text{атм}\) и высоту трубы \(h\).
B2. Постройте график, показывающий, как изменяется КПД электростанции в зависимости от высоты трубы.
Опытная электростанция в Манзанаресе.
Опытная солнечная электростанция на основе трубы, построенная в Манзанаресе (Испания), имеет трубу высотой \(h=195~м\) и радиусом \(R=5~м\), диаметр коллектора равен \(D=224~м\). Удельная теплоёмкость воздуха \(c=1012~Дж/(кг\cdot К)\), плотность нагретого воздуха \(\rho=0.9~кг/м^3\) средняя температура окружающего воздуха \(T_{атм}=295~К\). В Манзанаресе в течение солнечного дня Мощность солнечного излучения на единицу площади в среднем равна \(G=150~Вт/м^2\).
C1. Чему равен КПД опытной электростанции? Оцените его численно.
C2. Какова максимальная мощность опытной электростанции?
C3. Сколько энергии даёт электростанция в течение одного типичного солнечного дня?
D1. На сколько возрастёт температура воздуха при входе в трубу (теплый воздух) относительно температуры окружающего воздуха (холодный воздух)? Запишите общую формулу и сделайте оценку для опытной электростанции.
D2. Чему равен массовый поток воздуха через систему?
▶Показать разборСкрыть разбор
ОтветA1: \[h_{min}=\cfrac{B^2T_\text{воз}}{2g\Delta{T}S^2}{.}\]; A2: \[h_2=h_1\cdot\cfrac{T_\text{дым}-T_1}{T_\text{дым}-T_2}\cdot\cfrac{T_2}{T_1}\approx 145~\text{м}{.}\]; A3: \[v=\cfrac{B}{A}=const{.}\]; A4: \[p_\text{дым}(z)=p_0-(\rho_\text{возд}-\rho_\text{дым})gh-\rho_\text{дым}gz{.}\]; B1: \[\eta=\cfrac{gh}{cT_\text{атм}}{.}\]; B2: \[\eta=\cfrac{gh}{cT_\text{атм}}{.}\]; C1: \[\eta\approx 0{.}64\text{\%}\]; C2: \[\eta=\cfrac{G\pi{D}^2gh}{4cT_\text{атм}}\approx 45~\text{кВт}{.}\]; C3: \[W=\cfrac{G\pi{D}^2gh\Delta{t}}{4cT_\text{атм}}\approx 3{.}6\cdot 10^2~\text{кВт}\cdot\text{ч}=1{.}296\cdot 10^9~\text{Дж}{.}\]; D1: \[\Delta{T}=\left(\cfrac{G^2D^4T_\text{атм}}{32gh\rho^2c^2R^4}\right)^{1/3}\approx 9{.}1~\text{к}{.}\]
РешениеA1. В соответствии с описанной в условии задачи моделью, для линии тока дыма в трубе можно записать:
\[\cfrac{\rho_\text{дым}v^2}{2}+\rho_\text{дым}gz+p_\text{дым}=const=p_0{,}\]где \(p_0\) – давление дыма на входе в топку.
Определим давление дыма \(p_0\) на входе в топку из условия равновесия воздуха вне трубы:
\[p_\text{возд}(h)+\rho_\text{возд}gh=p_\text{дым}(h)+\rho_\text{возд}gh=p_0{.}\]Подставляя \(p_0\) в уравнение Бернулли:
\[\cfrac{\rho_\text{дым}v^2}{2}+\rho_\text{дым}gh+p_\text{дым}(h)=p_\text{дым}(h)+\rho_\text{возд}gh{,}\]откуда:
\[v^2=2gh\left(\cfrac{\rho_\text{возд}}{\rho_\text{дым}}-1\right){.}\]Воспользуемся уравнением состояния идеального газа:
\[pV=\nu RT\Rightarrow p=\cfrac{\rho RT}{\mu}{.}\]Поскольку \(p_\text{дым}(T)=p_\text{возд}(T)\) и \(\rho_\text{дым}(T)=\rho_\text{возд}(T)\) – молярные массы дыма и воздуха одинаковы.
Таким образом:
\[\cfrac{\rho_\text{возд}}{\rho_\text{дым}}=\cfrac{p_\text{возд}}{p_\text{дым}}\cdot\cfrac{T_\text{дым}}{T_\text{возд}}=\cfrac{T_\text{дым}}{T_\text{возд}}{,}\]откуда:
\[v^2=\cfrac{2gh\Delta{T}}{T_\text{воз}}{.}\]Скорость дыма на высоте \(h\) должна быть достаточной для обеспечение объёмного расхода \(B\), поэтому:
\[v\geq \cfrac{B}{S}\Rightarrow v^2=\cfrac{2gh\Delta{T}}{T_\text{воз}}\geq\cfrac{B^2}{S^2}{.}\]Окончательно:
Ответ:
\[h_{min}=\cfrac{B^2T_\text{воз}}{2g\Delta{T}S^2}{.}\]
A2. При фиксированном объёмном расходе и площади поперечного сечения высота трубы зависит только от \(T_\text{дым}\) и \(T_\text{возд}\):
\[h\sim\cfrac{T_\text{воз}}{\Delta{T}}{.}\]Отсюда:
Ответ:
\[h_2=h_1\cdot\cfrac{T_\text{дым}-T_1}{T_\text{дым}-T_2}\cdot\cfrac{T_2}{T_1}\approx 145~\text{м}{.}\]
A3. Запишем условие постоянства объёмного расхода дыма:
\[\dot{m}=\rho_\text{дым}Sv=B\rho_\text{дым}=const{.}\]Поскольку \(S=const\) И \(\rho_\text{дым}\approx const\):
Ответ:
\[v=\cfrac{B}{A}=const{.}\]
A4. Поскольку скорость движения дыма можно считать постоянной – уравнение Бернулли можно переписать в виде:
\[\cfrac{\rho_\text{дым}v^2}{2}+\rho_\text{дым}gz+p_\text{дым}(z)=p_0{.}\]Используя результат пункта \(\mathrm{A1}\):
\[\cfrac{\rho_\text{дым}v^2}{2}+\rho_\text{дым}gz+p_\text{дым}=(\rho_\text{возд}-\rho_\text{дым})gh+\rho_\text{дым}gz+p_\text{дым}(z)=p_0{,}\]откуда:
Ответ:
\[p_\text{дым}(z)=p_0-(\rho_\text{возд}-\rho_\text{дым})gh-\rho_\text{дым}gz{.}\]
B1. Кинетическая энергия воздуха, пришедшего в движение за время \(\Delta{t}\), составляет:
\[\Delta{E}_k=\cfrac{\Delta{m}v^2}{2}{.}\]Поскольку энергия, полученная электростанцией от Солнца, целиком уходит на нагревание воздуха, имеем:
\[\Delta{W}=\Delta{m}c\Delta{T}{,}\]откуда:
\[\eta=\cfrac{v^2}{2c\Delta{T}}{.}\]Подставляя \(v^2\) из пункта \(\mathrm{A1}\), находим:
Ответ:
\[\eta=\cfrac{gh}{cT_\text{атм}}{.}\]
B2. КПД \(\eta\) прямо пропорционален высоте трубы:
Ответ:
\[\eta=\cfrac{gh}{cT_\text{атм}}{.}\]
C1. Ответ:
\[\eta\approx 0{.}64\text{\%}\]
C2. Для мощности имеем:
\[P=\eta GS_\text{к}=\cfrac{GS_\text{к}gh}{cT_\text{атм}}{.}\]Поскольку \(S_\text{к}=\pi{D}^2/4\), имеем:
Ответ:
\[\eta=\cfrac{G\pi{D}^2gh}{4cT_\text{атм}}\approx 45~\text{кВт}{.}\]
C3. За время \(\Delta{t}\) энергия, выработанная электростанцией, составляет:
\[W=P\Delta{t}{.}\]Таким образом:
Ответ:
\[W=\cfrac{G\pi{D}^2gh\Delta{t}}{4cT_\text{атм}}\approx 3{.}6\cdot 10^2~\text{кВт}\cdot\text{ч}=1{.}296\cdot 10^9~\text{Дж}{.}\]
D1. Массовый расход дыма в трубе составляет:
\[\dot{m}=\rho\pi{R}^2v{.}\]С другой стороны:
\[GS_\text{к}=\cfrac{\pi GD^2}{4}=\dot{m}c\Delta{T}=\rho c\pi{R}^2v\Delta{T}{.}\]Подставим результат для \(v\) из пункта \(\mathrm{A1}\):
\[GD^2=4\rho cR^2\Delta{T}\sqrt{\cfrac{2gh\Delta{T}}{T_\text{атм}}}{,}\]откуда:
Ответ:
\[\Delta{T}=\left(\cfrac{G^2D^4T_\text{атм}}{32gh\rho^2c^2R^4}\right)^{1/3}\approx 9{.}1~\text{к}{.}\]
D2. Для массового расхода имеем:
Ответ:
\[\dot{m}=\cfrac{\pi GD^2}{4c}\left(\cfrac{32gh\rho^2c^2R^4}{G^2D^4T_\text{атм}}\right)^{1/3}\approx 760~\text{кг}/\text{с}{.}\]
Перевод: pho.rs.
Похожие задачи
- Пересчёт по интервалам Савченко, №5.2.1
- Независимость проекций Савченко, №5.2.2
- Функция распределения Максвелла Савченко, №5.2.3
- Водород вместо азота Савченко, №5.2.4
- Отношение чисел молекул Савченко, №5.2.5
- Три проекции сразу Савченко, №5.2.6