Мост из вольтметров и амперметров

Сначала определите, какой из амперметров показывает больший ток, и расставьте токи во всех ветвях через один неизвестный ток. Затем запишите уравнения для двух замкнутых контуров.

Поскольку сопротивление амперметра меньше сопротивления вольтметра, ток через амперметр \(A_1\) должен быть больше тока через вольтметр \(V_3\). Поэтому ток через мостиковый амперметр течет вверх и, сложившись с током, текущим через вольтметр \(V_1\), даст больший ток через амперметр \(A_2\), чем через амперметр \(A_1\). Значит, ток \(3I\) течет через амперметр \(A_2\), ток \(I\) — через амперметр \(A_1\).

Далее. Пусть через вольтметр \(V_2\) течет ток \(x\). Тогда легко найти токи, текущие через все электроизмерительные приборы (см. рисунок). Поскольку \(V_1\), \(A_1\) и \(V_2\) образуют замкнутый контур, напряжение на вольтметре \(V_1\) равно сумме напряжений на вольтметре \(V_2\) и амперметре \(A_1\). Поэтому из закона Ома для участка цепи имеем \[2IR = Ir + xR,\] где \(R\) — сопротивление вольтметра, \(r\) — сопротивление амперметра. Аналогично для замкнутого контура, образованного амперметрами \(A_1\) и \(A_2\) и вольтметром \(V_3\): \[4Ir = (x - I)\,R.\]

Если разделить каждое из уравнений на \(r\), можно получить систему двух уравнений относительно двух неизвестных — \(x\) и \(y = R/r\): \[\begin{cases} 2yI = I + xy, \\ 4I = y\,(x - I). \end{cases}\] Решая эту систему, получим \(x = \dfrac{9}{5}\,I\), \(y = \dfrac{R}{r} = 5\).

Отсюда находим, что токи, текущие через вольтметры \(V_2\) и \(V_3\) (и, следовательно, и напряжения на них), отличаются в 9/4 раза. А поскольку их сумма равна напряжению источника \(U_0\), то \[U_2 = \frac{9}{13}\,U_0 = 1{,}8~\text{В}, \qquad U_3 = \frac{4}{13}\,U_0 = 0{,}8~\text{В}.\] Показания вольтметра \(V_1\) можно найти так. Так как сопротивление вольтметра в 5 раз больше сопротивления амперметра, а ток, текущий через вольтметр \(V_1\), составляет две трети от тока, текущего через амперметр \(A_2\), напряжение на вольтметре \(V_1\) в 10/3 раза больше напряжения на амперметре \(A_2\). А поскольку сумма этих напряжений равна напряжению источника \(U_0\), то \[U_1 = \frac{10}{13}\,U_0 = 2~\text{В}.\]