Гелий протекает мимо поршня

Сравните давления гелия над поршнем и под ним в конечном состоянии. Что можно сказать о давлении идеального газа, если известна его концентрация и температура?

Пусть количество вещества гелия равно \(\nu\). Тогда количество вещества кислорода равно \(3\nu\), а условие равновесия поршня в начальном состоянии даёт \[\frac{mg}{S} = p_{к} - p_{г} = \frac{3\nu RT}{V/2} - \frac{\nu RT}{V/2} = \frac{4\nu RT}{V}, \qquad (*)\] где \(m\) — масса поршня, \(S\) — площадь сечения сосуда, \(p_{к}\) и \(p_{г}\) — давления кислорода и гелия в начальном состоянии, \(V\) — объем сосуда, \(T\) — температура газов (здесь использовано уравнение Клапейрона–Менделеева для кислорода и гелия в начальном состоянии).

После того, как гелий распространится по всему сосуду, давление газа в нижнем отсеке будет складываться из парциальных давлений кислорода и гелия, в верхнем отсеке будет только гелий, и только он и будет оказывать давление на поршень. Но поскольку гелий распределится по сосуду равномерно, его концентрация в верхнем и в нижнем отсеках будет одинакова независимо от положения поршня. А так как давление идеального газа определяется только его концентрацией и температурой, давление гелия на поршень сверху и снизу будет одинаковым. Поэтому из условия равновесия поршня в конечном состоянии гелий можно исключить, и тогда оно дает \[\frac{mg}{S} = p'_{к},\] где \(p'_{к}\) — парциальное давление кислорода в конечном состоянии. Поскольку для парциального давления справедлив закон Клапейрона–Менделеева, получим \[\frac{mg}{S} = p'_{к} = \frac{3\nu RT}{V'}. \qquad (**)\] Деля уравнения (*) и (**) друг на друга, найдем, как изменяется объем кислорода и высота расположения поршня в сосуде в конечном состоянии: \[V' = \frac{3}{4}V \quad\Rightarrow\quad h' = \frac{3}{4}\,h.\]