Стержень на тележке: заклинивание

Сила трения, действующая со стороны тележки на стержень, стремится поставить стержень «в распор» и увеличивает силу реакции. Сравните сдвигающую силу \(F\) с максимальной силой трения покоя между стержнем и тележкой.

Основная идея задачи заключается в том, что между стержнем и тележкой может возникнуть эффект заклинивания. Действительно, при попытке вытянуть тележку сила трения, действующая со стороны тележки на стержень, будет пытаться поставить стержень «в распор» между потолком и тележкой. Это приведет к увеличению силы реакции между стержнем и тележкой, т.е. к увеличению максимальной силы трения, которая действует со стороны тележки на стержень и со стороны стержня на тележку. Последняя сила и не позволит вытянуть тележку, если будет возрастать с ростом \(F\) быстрее, чем сама сила \(F\). Поэтому найдем максимальную силу трения между тележкой и стержнем (при условии, что тележка находится в покое) и исследуем ее зависимость от силы \(F\).

Итак, рассмотрим случай малых сил \(F\), когда тележка заведомо покоится, и найдем силу трения. На стержень действуют сила тяжести, сила реакции тележки, сила трения (которая в случае покоя тележки равна внешней силе \(F\)) и сила реакции шарнира. Условие моментов относительно шарнира дает \[N l\cos\alpha - mg\,\frac{l}{2}\cos\alpha - F l\sin\alpha = 0.\]

Откуда находим максимальную силу трения между тележкой и стержнем: \[F_{\text{тр}}^{\max} = \mu N = \mu\left(\frac{1}{2}mg + F\,\text{tg}\,\alpha\right).\] При малых значениях силы \(F\) главным слагаемым в скобках будет первое, и потому даже при небольших коэффициентах трения будет выполнено неравенство \(F_{\text{тр}}^{\max} > F\), и, следовательно, тележка будет находиться в покое. При увеличении силы \(F\) максимальная сила трения будет увеличиваться, но будет расти и «сдвигающая» тележку сила \(F\). Поэтому для ответа на вопрос о движении тележки нужно сравнить \(F_{\text{тр}}^{\max}\) и \(F\): \[F_{\text{тр}}^{\max} \gtrless F,\] где \(\gtrless\) — знак сравнения (т.е. неравенство, неизвестно куда развернутое). Итак, для ответа на вопрос о покое или движении тележки нужно провести сравнение \[\mu\left(\frac{1}{2}mg + F\,\text{tg}\,\alpha\right) \gtrless F,\] или \[\frac{1}{2}\mu mg \gtrless F\,(1 - \mu\,\text{tg}\,\alpha). \qquad (*)\] Если левая часть больше правой, тележка покоится, если меньше, движется. Подставляя сюда данные в условии значения, находим \[\frac{1}{2}\mu mg = 10~\text{Н}, \qquad F\,(1 - \mu\,\text{tg}\,\alpha) = 16{,}4~\text{Н}.\] Значит, тележка будет двигаться.

Из сравнения (*) следует, что если \(1 - \mu\,\text{tg}\,\alpha < 0\), левая часть сравнения будет больше правой при любых значениях силы \(F\). Т.е. в этом случае и наступает заклинивание. Таким образом, тележка не сдвинется ни при каких значениях силы \(F\), если \[\mu > \text{ctg}\,\alpha = 0{,}577.\]