Масса цилиндра

Масса стержня уравновешивается моментами сил относительно точки крепления нити. Подумайте, как найти положение центра масс стержня, и как изменится равновесие, если стержень погрузить в воду. Геометрию стержня (длину и диаметр) измерьте миллиметровой бумагой.

Имея полоску миллиметровой бумаги, можно измерить длину \(L\) цилиндра (прикладыванием к бумаге, \(\Delta_L = 1\) мм) и его диаметр \(D\) методом прокатывания: за \(N\) оборотов по полоске цилиндр перемещается на \(S\), откуда \(D = \dfrac{S}{N\pi}\). Объём цилиндра \(V = \dfrac{\pi L D^2}{4}\).

Опыт 1. Концы нити с помощью канцелярских зажимов закрепляем на краю стола, к середине нити крепим исследуемый стержень. Горизонтальное положение равновесия получается при креплении нити не к середине стержня. Измеряем расстояние \(X\) от места крепления нити до ближайшего конца стержня.

Опыт 2. Повторяем опыт, но стержень полностью погружаем в воду (не касаясь стенок и дна кюветы), и снова добиваемся горизонтального равновесия, изменив точку крепления нити. Измеряем расстояние \(Y\) от места крепления до ближайшего конца стержня.

Суммарный момент всех сил относительно точки крепления нити равен нулю в обоих опытах. Из первого опыта центр масс стержня находится на расстоянии \(X\) от одного из концов, а во втором — с учётом выталкивающей силы: \[mg(X - Y) - \rho g V\left(\frac{L}{2} - Y\right) = 0,\] откуда \[m = \rho\,\frac{L/2 - Y}{X - Y}\,V.\]

Погрешность. По официальной оценке относительная погрешность результата \(\varepsilon_m = \varepsilon_{L/2-Y} + \varepsilon_{X-Y} + 2\varepsilon_S + \varepsilon_L \approx 0{,}13\).

Данные для московских установок (критерии): длина \(14{,}9\)–\(15{,}1\) см; диаметр \(0{,}98\)–\(1{,}04\) см; центр масс — \(4{,}9\)–\(5{,}3\) см от тяжёлого края; \(M\) в интервале \(20{,}8\)–\(28{,}2\) г (4 балла), \(17{,}0\)–\(32{,}0\) г (2 балла).