Шарики при столкновении

Закон сохранения импульса в вертикальном направлении при неупругом ударе даёт время до столкновения; дальше — свободное падение с высоты столкновения.

Пусть время полёта шариков до столкновения равно \(t_1\), а время падения шариков на Землю после столкновения — \(t_2\). Высота \(h\) точки столкновения: \(h = gt_2^2/2\) (без начальной скорости по оси \(y\)), откуда \(t_2 = \sqrt{2h/g}\).

В точке столкновения вертикальная координата первого шарика \(h = v_0\sin\alpha\cdot t_1 - gt_1^2/2\), его вертикальная скорость \(v_{1y} = v_0\sin\alpha - gt_1\). Второй шарик падает из состояния покоя, и к моменту столкновения его вертикальная скорость \(v_{2y} = gt_1\) (направлена вниз).

После удара шарики движутся горизонтально, значит, суммарный вертикальный импульс равен нулю: \(m v_{1y} - m v_{2y} = 0\), откуда \(v_0\sin\alpha - gt_1 = gt_1\) и \(t_1 = \dfrac{v_0\sin\alpha}{2g}\).

Тогда \(h = \dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g} - \dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{8g} = \dfrac{3v_0^2\sin^2\alpha}{8g}\) и \[t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \frac{\sqrt{3}\,v_0\sin\alpha}{2g}.\]