Мост (теоретический тур)

Пока поезд не заехал на мост, датчик показывает силу, которая зависит только от веса моста. Далее момент силы тяжести поезда относительно опоры даёт параболу; постоянные участки графика дают время заезда поезда на мост.

Из графика видно, что вначале датчик показывает постоянную силу, действующую только со стороны моста (поезд ещё не заехал). Так как мост однородный, то на вторую опору действует такая же сила: \[2N_1 = Mg,\] где \(N_1 = 5000\) кН, откуда \(M = 2N_1/g = 1000\) тонн.

Правило моментов относительно точки \(B\) даёт \[NL = Mg\,\dfrac{L}{2} + \dfrac{mgx}{l}\left(L - \dfrac{x}{2}\right),\] следовательно, \[N = \dfrac{Mg}{2} + \dfrac{mg}{l}\,vt - \dfrac{mg}{2Ll}\,v^2t^2.\] Это уравнение параболы с ветвями, направленными вниз, что согласуется с условием. Датчик находится в точке \(A\).

Заметим, что с 10 секунды по 20 секунду на опору так же действует постоянная сила. Это означает, что момент силы тяжести той части поезда, что находится на мосту, постоянен относительно, скажем, точки \(B\). Понятно, что такое возможно, когда длина поезда больше длины моста и поезд занимает весь мост. Это продолжается в течение времени \[t_1 = 10~\text{с} = \dfrac{l - L}{v}.\] Из графика видно, что поезд полностью заезжает на мост за \[t_2 = 5~\text{с} = \dfrac{L}{v}.\] Складывая уравнения, получим, что \[\dfrac{l}{v} = t_1 + t_2 = 15~\text{с},\] откуда \(v = 14\) м/с, \(L = 70\) м.

Теперь найдём массу поезда. В момент времени, когда поезд полностью находится на мосту, центр тяжести заехавшей части совпадает с центром тяжести моста. Значит, сила реакции опоры в точке \(B\) равна силе реакции опоры в точке \(A\): \[2N_2 = Mg + m_0 g,\] где \(N_2 = 5800\) кН, а \(m_0 = mL/l\) — масса части поезда, которая находится на мосту. Значит, \[m = \dfrac{l}{L}\cdot\dfrac{2N_2 - Mg}{g} = 480~\text{тонн}.\]