Звезда – треугольник (теоретический тур)

Сравните показания приборов в обеих схемах: вольтметр в первой схеме даёт сопротивление \(r_V = U_1/I_1\), а омметр показывает сумму сопротивлений приборов, включённых последовательно с источником.

1. Вольтметр показывает значение силы тока, текущего через него, умноженное на его сопротивление. Поэтому для первой схемы имеем: \(U_1 = I_1 r_V\), откуда \[r_V = \dfrac{U_1}{I_1} = 1~\text{кОм}.\] В той же схеме омметр показывает суммарное сопротивление \(R_1 = r_A + r_V\) приборов, подключенных последовательно к его выводам, откуда \(r_A = R_1 - r_V = 100\) Ом.

Для первой схемы можно записать ещё одно уравнение, связывающее параметры приборов. Напряжение на концах источника омметра \(U\) равно сумме падений напряжений на внутренних сопротивлениях приборов: \[U = I_1(r + r_A + r_V) = I_1(r + R_1).\]

2. Рассмотрим эквивалентную схему при соединении приборов звездой.

Сила тока, текущего через амперметр во второй схеме, равна \(I_2\). Приравнивая напряжения на амперметре и вольтметре, получим: \[r_A I_2 = r_V I_x,\] \[I = I_2 + I_x = I_2\left(\dfrac{r_A}{r_V} + 1\right) = I_2\,\dfrac{r_V + r_A}{r_V} = I_2\,\dfrac{R_1}{r_V}.\] Для контура, содержащего амперметр и омметр, справедливо: \[U = rI + r_A I_2 = r I_2\,\dfrac{R_1}{r_V} + r_A I_2 = I_2\left(r\,\dfrac{R_1}{r_V} + r_A\right).\] Из этих уравнений получим сопротивление омметра: \[r = \dfrac{I_1 R_1 - I_2 r_A}{I_2 R_1 / r_V - I_1} = 750~\text{Ом},\] и напряжение источника \(U = I_1(r + R_1) = 1{,}85\) В.

3. Из уравнения для вольтметра показания вольтметра в новой схеме: \[U_2 = I_2 r_A = 2~\text{мА}\cdot 100~\text{Ом} = 0{,}2~\text{В}.\] Омметр покажет эквивалентное сопротивление соединённых параллельно амперметра и вольтметра: \[R_2 = \dfrac{r_A r_V}{r_A + r_V} = 91~\text{Ом}.\]