Старая батарея (теоретический тур)

Батарея должна отдавать ту же мощность, значит, её средняя температура не меняется. Средняя температура воды на входе и выходе батареи равна средней температуре батареи, а количество теплоты за время \(\tau\) равно \(c\rho V\,\Delta t\), где \(V\) — объём воды, прошедшей через батарею.

Чтобы сохранилась мощность, рассеиваемая батареей, её температура после замены трубы должна остаться прежней. Так как изменение температуры воды на входе и выходе батареи невелико, то будем считать, что ей изначально передавала тепло вода, имевшая среднюю арифметическую температуру: \[T_1 = \dfrac{t_1 + t_2}{2}.\] Заметим, что температура самой батареи меньше температуры воды, но больше комнатной. После замены трубы комнатная температура не изменилась, следовательно, не изменилась и температура батареи. И поэтому: \[T_2 = T_1 = \dfrac{t_3 + t_4}{2},\] где \(t_4\) — новая температура на выходе. Из записанных выше уравнений находим \(t_4 = t_1 + t_2 - t_3 = 76\) °С. За одинаковое время \(\tau\) вода должна отдавать батарее одинаковое количество теплоты, следовательно, мощность батареи: \[P = \dfrac{Q}{\tau} = v_1 S_1 \rho c\,(t_1 - t_2) = v_2 S_2 \rho c\,(t_3 - t_4),\] откуда: \[v_2 = v_1\,\dfrac{S_1(t_1 - t_2)}{S_2(t_3 - t_4)} = 0{,}20~\text{м/с}.\] Мощность батареи \(P = v_1 S_1 \rho c\,(t_1 - t_2) = 4{,}0\) кВт.