Задачи › Нити и блоки

Груз, тянутый лебедкой

  1. Груз, тянутый лебедкой

    СПбГУ 2024/25, 11 кл.
    7/10

    Вариант 1. Груз массой \(M\) тянут по дну карьера глубиной \(H\) при помощи лебедки (Л) и троса, перекинутого через блок (Б) (см. рис.). Лебедка радиусом \(r_0 \ll H\) вращается с постоянной угловой скоростью \(\omega\). Определите длину участка троса от груза до блока в момент отрыва груза от земли. Коэффициент трения груза о дно карьера \(\mu\), трос не провисает, начальная длина участка троса от груза до блока \(L_0\). Трением в лебедке и блоке, а также размерами груза и блока пренебрегите.

    Рисунок

    Вариант 2. Груз массой \(M\) тянут по дну карьера глубиной \(H\) при помощи лебедки (Л) и троса, перекинутого через блок (Б) (см. рис.). Лебедка радиусом \(r_0 \ll H\) вращается с некоторой постоянной угловой скоростью. В момент, когда груз находился на расстоянии \(2H\) от края карьера, он оторвался от земли. Определите частоту вращения лебедки. Коэффициент трения груза о дно карьера \(\mu\), трос не провисает, начальная длина участка троса от груза до блока \(L_0\). Трением в лебедке и блоке, а также размерами груза и блока пренебрегите.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    вариант 1: \(L = \sqrt{H^2 + \omega r_0 H\sqrt{\dfrac{H}{g}}}\);  вариант 2: \(\nu = \dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{2}{\pi}\cdot\dfrac{\sqrt{gH}}{r_0}\), где \(\omega = \dfrac{4\sqrt{gH}}{r_0}\).

    Решение

    Длина участка троса убывает с постоянной скоростью \(\omega r_0\): \(L(t) = L_0 - \omega r_0 t\). Пусть \(\alpha\) — угол троса с горизонталью, \(\sin\alpha = \dfrac{H}{L}\). Скорость груза вдоль дна \(v = \dfrac{\omega r_0 L}{\sqrt{L^2 - H^2}}\), а ускорение \[a = \frac{dv}{dt} = \frac{\omega^2 r_0^2 H^2}{(L^2 - H^2)^{3/2}}.\] В момент отрыва сила реакции опоры равна нулю, сила трения тоже. Проекции второго закона Ньютона: \(T\sin\alpha = Mg\), \(T\cos\alpha = Ma\). Значит, \(\mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{g}{a}\), то есть \(\dfrac{H}{\sqrt{L^2 - H^2}} = \dfrac{g}{a}\), откуда \(g\,(L^2 - H^2)^2 = \omega^2 r_0^2 H^3\) и \[L^2 - H^2 = \omega r_0 H\sqrt{\frac{H}{g}}.\] Вариант 2. Из того же соотношения при \(L^2 = H^2 + (2H)^2 = 5H^2\): \(4H^2 = \omega r_0 H\sqrt{H/g}\), \(\omega = \dfrac{4\sqrt{gH}}{r_0}\), а частота \(\nu = \dfrac{\omega}{2\pi}\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх