Задачи › Сила трения: покой и проскальзывание

Брусок у бортиков

  1. Брусок у бортиков

    СПбГУ 2024/25, 11 кл.
    7/10

    Вариант 1. Брусок массой \(m\), лежащий на горизонтальной шероховатой поверхности, одной своей гранью касается вертикального бортика, а другой прикреплён к стене пружиной жёсткостью \(k\) (см. рис.). Изначально пружина не деформирована. Затем брусок отвели на некоторое расстояние вправо и отпустили. Определите первоначальное отклонение бруска, если брусок до полной остановки ударился о левый бортик \(n > 0\) раз, перед остановкой двигался по направлению от бортика, а в результате выделилось количество теплоты \(Q\). Коэффициент трения бруска о поверхность равен \(\mu\), ускорение свободного падения \(g\). Брусок ударяется о бортик абсолютно упруго.

    Рисунок

    Вариант 2. Брусок массой \(m\), лежащий на горизонтальной шероховатой поверхности, одной своей гранью касается вертикального бортика, а другой прикреплён к стене пружиной жёсткостью \(k\) (см. рис.). Изначально пружина не деформирована. Затем брусок отвели на некоторое расстояние вправо и отпустили. Определите первоначальное отклонение бруска, если брусок до полной остановки ударился о левый бортик \(n > 0\) раз, перед остановкой двигался по направлению к бортику, а в результате выделилось количество теплоты \(Q\). Коэффициент трения бруска о поверхность равен \(\mu\), ускорение свободного падения \(g\). Брусок ударяется о бортик абсолютно упруго.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    вариант 1: \(x_0 = \dfrac{Q}{2n\mu mg} + \dfrac{n\mu mg}{k}\);  вариант 2: \(x_0 = \dfrac{Q}{2(n+1)\mu mg} + \dfrac{(n+1)\mu mg}{k}\).

    Решение

    Сила трения скольжения постоянна по модулю, \(F_{тр} = \mu mg\), и меняет направление при смене направления движения. Между двумя соседними точками поворота, вдали от бортика, энергия пружины меняется на работу силы трения: \(\dfrac{kx_n^2}{2} - \dfrac{kx_{n+1}^2}{2} = \mu mg\,(x_n + x_{n+1})\), откуда \(x_n - x_{n+1} = \dfrac{2\mu mg}{k}\). Каждый проход уменьшает отклонение на одну и ту же величину.

    Вариант 1. После \(n\) ударов последняя точка поворота \(x_n = x_0 - \dfrac{2n\mu mg}{k}\). Выделившаяся теплота равна убыли энергии пружины: \[Q = \frac{k}{2}\left(x_0^2 - x_n^2\right) = 2n\mu mg\left(x_0 - \frac{n\mu mg}{k}\right),\] откуда \(x_0 = \dfrac{Q}{2n\mu mg} + \dfrac{n\mu mg}{k}\).

    Вариант 2. Последний поворот \(x_n = x_0 - \dfrac{2n\mu mg}{k}\), затем брусок проходит ещё путь до точки \(x'\). Из закона сохранения энергии \(x_n + x' = \dfrac{2\mu mg}{k}\), то есть \(x' = \dfrac{2(n+1)\mu mg}{k} - x_0\). Тогда \(Q = \dfrac{k}{2}\left(x_0^2 - x'^2\right) = 2(n+1)\mu mg\left(x_0 - \dfrac{(n+1)\mu mg}{k}\right)\), и \(x_0 = \dfrac{Q}{2(n+1)\mu mg} + \dfrac{(n+1)\mu mg}{k}\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх