Задачи › Равновесие тел, моменты сил

Прочность опоры

  1. Прочность опоры

    СПбГУ 2024/25, 11 кл.
    7/10

    Вариант 1. Тяжёлый груз массой \(M\) устанавливается на опору высотой \(H\), изготовленную из специального хрупкого слоистого материала. Слои очень тонкие и абсолютно жёсткие, расположены горизонтально. Трение между слоями отсутствует. Какой минимальной массы можно сделать эту опору? Плотность материала опоры \(\rho\), и он разрушается при давлении между слоями больше \(p_0\); ускорение свободного падения равно \(g\).

    Вариант 2. Тяжёлый груз массой \(M\) устанавливается на опору такой же массы, изготовленную из специального хрупкого слоистого материала. Слои очень тонкие и абсолютно жёсткие, расположены горизонтально. Трение между слоями отсутствует. Какой минимальной/максимальной высоты может быть эта опора? Плотность материала опоры \(\rho\), и он разрушается при давлении между слоями больше \(p_0\); ускорение свободного падения равно \(g\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    вариант 1: \(m_{\min} = \left(e^{\rho g H/p_0} - 1\right)M\);  вариант 2: наибольшая высота \(H = \dfrac{p_0\ln 2}{\rho g}\), наименьшая формально близка к нулю.

    Решение

    Пусть \(S(y)\) — площадь сечения на глубине \(y\) (ось направлена вниз, \(y = 0\) — верх опоры), \(m(y)\) — масса части опоры выше этого уровня. Давление между слоями \(\sigma = \dfrac{(M + m)g}{S}\) не должно превышать \(p_0\); для опоры наименьшей массы \(\sigma = p_0\) всюду, то есть \(S = \dfrac{g}{p_0}(M + m)\). Тогда \(dS = \dfrac{g}{p_0}\,dm\), а \(dm = \rho S\,dy\), поэтому \(\dfrac{dS}{S} = \dfrac{\rho g}{p_0}dy\).

    Интегрируя от \(0\) до \(H\) и учитывая \(S(0) = \dfrac{gM}{p_0}\), получаем \(S(H) = S(0)\exp\dfrac{\rho g H}{p_0}\). Масса опоры \(m(H) = \dfrac{p_0}{g}S(H) - M = \left(e^{\rho g H/p_0} - 1\right)M\).

    Вариант 2. Масса опоры равна \(M\), поэтому \(S(H) = \dfrac{2gM}{p_0}\), то есть \(S(H) = 2S(0)\). Отсюда \(\dfrac{\rho g H}{p_0} = \ln 2\), \(H = \dfrac{p_0\ln 2}{\rho g}\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх