Прыгающий мячик

Мячик после отскока движется как брошенное тело. Скорость в высшей точке горизонтальна, поэтому её модуль равен горизонтальной составляющей. Во втором варианте учтите, что при возвращении по той же траектории скорость в точке удара перпендикулярна плоскости.

Вариант 1. После отскока от стенки скорость мячика составляет угол \(\beta\) с горизонталью: \(v_{y0} = v_x\,\mathrm{tg}\beta\). Координаты мячика: \(x = v_x t\), \(y = H - h + v_{y0}t - \dfrac{gt^2}{2}\), где \(h\) — подъём мячика над точкой отскока. В высшей точке \(t' = \dfrac{v_{y0}}{g}\), \(y(t') = H\), поэтому \(h = \dfrac{v_{y0}^2}{2g} = \dfrac{v_x^2\,\mathrm{tg}^2\beta}{2g}\).

Из прямоугольного треугольника (горизонтальный катет \(x(t') = \dfrac{v_x v_{y0}}{g}\), вертикальный катет \(H - h\), угол \(\beta\) при нём) получаем \(\mathrm{tg}\beta = \dfrac{x(t')}{H-h}\), откуда \(v_x^2 = g(H-h)\). Подставляя \(h\), находим \(v_x^2\left(1 + \tfrac{1}{2}\mathrm{tg}^2\beta\right) = gH\). Скорость в высшей точке равна \(v_x\).

Вариант 2. Чтобы мячик вернулся по той же траектории, скорость в точке удара должна быть перпендикулярна плоскости: \(v\cos\alpha = gt\sin\alpha\), откуда \(gt = v\,\mathrm{ctg}\,\alpha\). Точка удара \(x = vt\), \(y = H - \dfrac{gt^2}{2}\) лежит на плоскости, \(y = x\,\mathrm{tg}\alpha\). Отсюда \(H - \dfrac{v^2\mathrm{ctg}^2\alpha}{2g} = \dfrac{v^2}{g}\), и \(\mathrm{ctg}^2\alpha = 2\left(\dfrac{gH}{v^2} - 1\right)\).