Задачи › Тепловое излучение

Надувающийся шарик

  1. Надувающийся шарик

    СПбГУ 2024/25, 11 кл.
    7/10

    Вариант 1. В открытый космос под солнечные лучи поместили шарик — тонкую сферическую оболочку из специфического материала, заполненную идеальным газом. В начальный момент времени радиус шарика был \(R_0\), а температура \(T_0\). До какого радиуса \(R\) надуется шарик под действием солнечных лучей, если шарик расположен на расстоянии \(L \gg R_c\) от Солнца, где \(R_c\) — радиус Солнца. Мощность излучения Солнца равна \(W_0\). Другими источниками излучения можно пренебречь.

    Информация о материале оболочки. Коэффициент серости равен единице (поглощается всё падающее излучение). Теплопроводность достаточно большая, поэтому температуру всей поверхности можно считать одинаковой. Если растягивать круглый лоскут из этого материала равномерно во все стороны (только в плоскости лоскута), то в определённом диапазоне растяжений линейная плотность упругой силы пропорциональна радиусу лоскута: \(f = k\,r/r_0\), где \(k\) — неизвестный коэффициент, \(r_0\) — радиус лоскута в нерастянутом состоянии. Считайте, что растяжение сферической оболочки попадает в этот диапазон как в начальном, так и в нагретом состоянии.

    Примечание. Мощность (в Вт), излучаемая с поверхности оболочки с единичным коэффициентом серости, определяется законом Стефана–Больцмана: \(W_{изл} = S\sigma T^4\), где \(S = 4\pi R^2\) — площадь поверхности оболочки, \(\sigma\) — постоянная Стефана–Больцмана.

    Вариант 2. В открытом космосе под солнечными лучами находится шарик — тонкая сферическая оболочка из того же материала, заполненная идеальным газом. Шарик находится в тепловом равновесии и имеет радиус \(R_1\). Определите, какую часть видимого диска Солнца должно закрыть другое небесное тело (на какую часть должен уменьшиться видимый телесный угол), чтобы радиус шарика уменьшился до \(R_2\)? Другими источниками излучения можно пренебречь. Свойства материала оболочки — как в варианте 1.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    вариант 1: \(R = R_0\left(\dfrac{T}{T_0}\right)^{1/3}\), где \(T = \left(\dfrac{W_0}{16\pi\sigma L^2}\right)^{1/4}\), то есть \(R = \dfrac{R_0}{T_0^{1/3}}\left(\dfrac{W_0}{16\pi\sigma L^2}\right)^{1/12}\);  вариант 2: доля диска \(1 - \left(\dfrac{R_2}{R_1}\right)^{12}\).

    Решение

    Вариант 1. Солнце видно под малым телесным углом, поэтому на оболочку падает поток \(\dfrac{W_0}{4\pi L^2}\), поглощается мощность \(\dfrac{W_0}{4\pi L^2}\cdot\pi R^2 = \dfrac{W_0 R^2}{4L^2}\). В равновесии она равна излучению \(4\pi R^2\sigma T^4\), поэтому \(\sigma T^4 = \dfrac{W_0}{16\pi L^2}\).

    Давление газа найдём из равновесия полярного участка оболочки: \(P\pi r^2 = 2\pi r f\sin\theta\), \(r = R\sin\theta\), \(f = kR/R_0\), откуда \(P = \dfrac{2k}{R_0}\) — давление не зависит от растяжения. Тогда из уравнения состояния \(PV = NkT\) при постоянных \(P\) и \(N\) имеем \(V \propto T\), то есть \(R^3 = R_0^3\dfrac{T}{T_0}\).

    Вариант 2. Равновесная температура пропорциональна \(\Omega^{1/4}\), где \(\Omega\) — телесный угол Солнца, видимый с шарика, \(T \propto \Omega^{1/4}\). При постоянном давлении \(R^3 \propto T\), поэтому \(\dfrac{R_2^{3}}{R_1^{3}} = \left(\dfrac{\Omega_2}{\Omega_1}\right)^{1/4}\), то есть \(\dfrac{\Omega_2}{\Omega_1} = \left(\dfrac{R_2}{R_1}\right)^{12}\). Доля диска, которую нужно закрыть: \(1 - \dfrac{\Omega_2}{\Omega_1} = 1 - \left(\dfrac{R_2}{R_1}\right)^{12}\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх