Лёд и шарики в воде

Найдите, какая наибольшая масса льда из холодильника ещё полностью тает в сосуде с водой. Тогда оба опыта превратятся в неравенства для масс шарика и кубика.

Пусть \(C\) — общая теплоёмкость воды и сосуда, \(c_\text{л}\) — удельная теплоёмкость льда, \(\lambda\) — удельная теплота плавления льда, \(t_\text{к}\) — комнатная температура, \(t_\text{х}\) — температура в холодильнике. Исследуем, в каком случае льдинка массой \(m\), взятая из холодильника, при погружении в сосуд полностью растает. Количество теплоты, выделяющееся при охлаждении воды и сосуда до \(0\,^\circ\)C, составляет \(Ct_\text{к}\). Его должно хватить на нагревание льдинки до \(0\,^\circ\)C (требуемое количество теплоты \(c_\text{л}m|t_\text{х}|\)) и на её плавление (требуется количество теплоты \(\lambda m\)). Следовательно, льдинка растает полностью при \[Ct_\text{к} > c_\text{л}m|t_\text{х}| + \lambda m, \quad\text{или при}\quad m < \frac{Ct_\text{к}}{c_\text{л}|t_\text{х}| + \lambda}.\] По условию задачи, \[m_\text{ш} + 3m_\text{к} < \frac{Ct_\text{к}}{c_\text{л}|t_\text{х}| + \lambda} < m_\text{ш} + 4m_\text{к}, \qquad m_\text{к} + 2m_\text{ш} < \frac{Ct_\text{к}}{c_\text{л}|t_\text{х}| + \lambda} < m_\text{к} + 3m_\text{ш}.\] Обозначая \[M = \frac{Ct_\text{к}}{c_\text{л}|t_\text{х}| + \lambda} - m_\text{ш} - m_\text{к},\] получаем \(2m_\text{к} < M < 3m_\text{к}\) и \(m_\text{ш} < M < 2m_\text{ш}\). Это то же самое, что условие задачи о гире неизвестной массы \(M\) и кубиках с шариками (задача 3а): из первого неравенства \(\tfrac13 M < m_\text{к} < \tfrac12 M\), из второго \(\tfrac12 M < m_\text{ш} < M\). Следовательно, \[1 < \frac{m_\text{ш}}{m_\text{к}} < 3 .\]