Жонглёры и стержень

Центр масс стержня движется так же, как точка с массой всего стержня, и, без сопротивления воздуха, центр масс стержня и мяч движутся по параболам. Стержень запущен с той же скоростью \(v_0\), что и мяч. Дальность полёта и время полёта \[L = \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}, \qquad T = \frac{2v_0\sin\alpha}{g}.\] Дальность одинакова при углах \(\alpha\) и \(\pi/2 - \alpha\), но при \(\alpha > \pi/4\) тело, брошенное под углом \(\pi/2 - \alpha\), летит быстрее. Значит, мяч брошен под углом \(\alpha > \pi/4\), а стержень — под углом \(\pi/2 - \alpha\).

Из условий \(L = \frac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}\) и \(H = \frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}\) находим \[v_0^2 = 2g\left(H + \frac{L^2}{16H}\right), \qquad \operatorname{ctg}\alpha = \frac{L}{4H}.\] В момент касания центр масс стержня находится в вершине своей параболы, а стержень вертикален. Высота центра масс стержня в этот момент \[H_2 = \frac{v_0^2\cos^2\alpha}{2g} = \frac{L^2}{16H}.\] Чтобы верхний конец стержня достиг высоты \(H\), нужно \(l/2 = H - H_2\), откуда минимальная длина \[l = 2H\left(1 - \frac{L^2}{16H^2}\right).\] Мяч поднимается до верхней точки за время \(t_1 = \dfrac{v_0\sin\alpha}{g} = \sqrt{\dfrac{2H}{g}}\), стержень — за время \(t_2 = \dfrac{v_0\cos\alpha}{g} = \sqrt{\dfrac{2H}{g}}\,\dfrac{L}{4H}\). Значит, стержень был запущен позже мяча на \[\Delta t = t_1 - t_2 = \sqrt{\frac{2H}{g}}\left(1 - \frac{L}{4H}\right).\] За время \(t_2\) стержень должен повернуться на угол \(\pi/2 + k\pi\), где \(k\) — целое неотрицательное число: \[\omega t_2 = \frac{\pi}{2} + k\pi, \qquad \omega = \sqrt{\frac{g}{2H}}\,\frac{4H}{L}\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right).\] Возможно бесконечное число угловых скоростей. Выражения для \(l\) и \(\Delta t\) обращаются в нуль при \(L = 4H\) (бросок под углом \(\pi/4\)); по условию \(\alpha > \pi/4\), то есть \(L < 4H\).