Полый цилиндр и снаряд

Сразу после удара угловая скорость цилиндра равна нулю: иначе возник бы ненулевой импульс вдоль вертикальной оси. Пусть \(F_y\) — вертикальная компонента силы со стороны пули, \(N\) — сила реакции поверхности. По второму закону Ньютона в проекции на вертикальную ось \[F_y + N - Mg = 0 .\] Динамика вращения цилиндра (уравнение моментов относительно его оси): \[F_y + F_{тр} = M\beta R .\] Для пули по вертикали: \(-F_y - mg = m\beta R\). Цилиндр проскальзывает, поэтому \(F_{тр} = \mu N\). Решая систему, \[\beta = \frac{g}{R}\,\frac{\mu(m+M) - m}{m + M - \mu m}, \qquad N = \frac{(2m + M)Mg}{m + M - \mu m}.\] Знаменатель положителен, знак \(\beta\) определяется числителем: при \(\mu < \mu_1 = \dfrac{m}{m+M}\) угловое ускорение отрицательно (цилиндр вращается против часовой стрелки), при \(\mu > \mu_1\) — по часовой стрелке. Так как \(m < M\), \(\mu_1 < 1/2\), а условие \(\mu < 2\) гарантирует конечность \(N\) и \(\beta\).

Для теплоты используем закон сохранения энергии. Пусть цилиндр повернулся на угол \(\varphi\) по часовой стрелке, скорость его оси \(\vec v_0\). В системе отсчёта оси цилиндр вращается с угловой скоростью \(\omega\), линейная скорость пули относительно оси \(|\vec v_1| = \omega R\). Энергия пули в лабораторной системе \[E_п = mgR\sin\varphi + \frac{m\omega^2R^2}{2} + \frac{mv_0^2}{2} + m\omega R v_0\sin\varphi,\] энергия цилиндра \[E_ц = \frac{M\omega^2R^2}{2} + \frac{Mv_0^2}{2}.\] Горизонтальная проекция скорости центра масс системы, с учётом того что центр масс отстоит от оси на \(r = \dfrac{m}{m+M}R\), \[v = \omega r\sin\varphi + v_0 .\] Закон сохранения энергии \(\dfrac{mu^2}{2} = E_п + E_ц + Q\) даёт выражение для \(Q\), приведённое в ответе.